Синтез при произвольной структуре системы.

Пусть на систему действуют полезный сигнал и помеха которые приложены к одному и тому же входу (см. рис. 9.16) и являются стационарными случайными процессами с равными нулю средними значениями. Если полезный сигнал и помеха приложены к разным входам, то методом эквивалентных преобразований всегда можно привести к одному входу. Таким образом, суммарный сигнал на входе системы будет равен

Выходной сигнал системы связан с входным сигналом уравнением

где — передаточная функция замкнутой системы.

Допустим, что система должна воспроизводить некоторую функцию от управляющего сигнала

Ошибка воспроизведения равна

Задача синтеза в случае произвольной структуры линейной системы состоит в том, чтобы при известных статистических характеристиках полезного сигнала и помехи найти такую физически реализуемую оптимальную передаточную функцию замкнутой системы при которой среднее значение квадрата суммарной ошибки было бы минимально, т. е.

Рассмотрим задачу синтеза оптимальной передаточной функции считая, что нам заданы спектральные плотности полезного сигнала и помехи а также преобразующий оператор (алгоритм преобразования) Решение проведем для упрощенного, но часто встречающегося случая, когда полезный сигнал и помеха не коррелированы.

Выражение для любой реализации случайной суммарной ошибки можно записать следующим образом:

Выражение для спектральной плотности ошибки

а среднее значение квадрата ошибки

Для минимизации ошибки необходимо выбрать соответствующую частотную передаточную функцию системы

Основная трудность в минимизации выражения (9.113) связана с учетом условий физической осуществимости передаточной функции системы Найдем сначала без учета этого условия, а затем на основе полученного решения построим лучшую из физически реализуемых систем.

Записав частотные передаточные функции в виде

вычислим

Тогда (9.113) принимает вид

Из (9.114) необходимо найти такие значения при которых выполнялось бы условие Это типичная вариационная задача, решаемая, например, с помощью Уравнений Эйлера.

Учитывая, что положительны при любом значении со, для минимизации необходимо, чтобы член был наибольшим, т. е. чтобы

Тогда (9.114) примет вид

Так как все члены в последнем подынтегральном выражении положительны, то минимум среднего значения квадрата ошибки будет при минимальном значении функции

Приравнивая получаем

откуда находим выражение для оптимальной амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы:

Имея в виду, что выражения (9.115) и (9.116) можно объединить в одно уравнение:

Как следует из (9.117), единственными статистическими характеристиками полезного сигнала и помехи, необходимыми для определения оптимальной частотой передаточной функции замкнутой системы, являются их спектральные плотности.

Оптимальная частотная передаточная функция системы, определяемая по (9.117), была найдена без учета возможности ее физической реализуемости.

Условием физической реализуемости системы является равенство

т. е. реакция системы на -фуикцию, действующую в момент равна нулю при

Частотная передаточная функция физически реализуемой системы должна иметь все полюсы в верхней полуплоскости корней,

ней, а соответствующая ей передаточная функция должна иметь только левые корни. Однако оптимальная частотная передаточная функция, определяемая (9.117), может оказаться в общем случае физически нереализуемой. Это можно показать на частном простейшем примере. Пусть решается задача воспроизведения, т. е. и пусть помеха представляет собой единичный белый шум, т. е. . Тогда

и так как — положительная величина, то она раскладывается на комплексные множители, один из которых всегда будет иметь полюсы в нижней полуплоскость корней. Импульсная переходная функция найденная для такой частотной передаточной функции, будет существовать и для отрицательных значений времени т. е. до приложения возмущения. Это и свидетельствует о нереализуемости

Оптимальная частотная передаточная функция, определяемая (9.117), оказалась физически нереализуемой потому, что в реальных системах всегда существует связь между амплитудно-частотной и фазовой характеристиками, которая не была учтена при выводе формулы (9.117). При выводе (9.117) решались уравнения (9.115) и (9.116), которые, как правило, являются несовместимыми, т. е. нельзя найти одно решение, одновременно удовлетворяющее обоим этим уравнениям.

Для того чтобы реализовать функцию, наиболее близкую к оптимальной, необходимо из выделить физически реализуемую часть с полюсами, находящимися в верхней полуплоскости корней, а остальные члены отбросить.

Для этого, пользуясь методикой, предложенной Г. Боде и К. Шенноном, разлагают сначала знаменатель выражения (9.117) на комплексные множители (операции «факторизации»):

где — функция, все нули и полюсы которой лежат в верхней полуплоскости комплексного переменного — функция, комплексно-сопряженная с все нули и полюсы которой лежат в нижней полуплоскости комплексного переменного

Затем производят разделение на реализуемые и нереализуемые слагаемые (операция «расщепления»):

причем реализуемая часть отмечается знаком плюс, а нереализуемая — знаком минус.

Отбрасывая члены, соответствующие нереализуемой части, условие оптимальности с учетом физической реализуемости записывают следующим образом:

Физически реализуемая частотная передаточная функция оказывается уже неоптимальной в прежнем понимании, но среди физически реализуемых функций в соответствии с принятым критерием она является наилучшей.

Таким образом, когда полезный сигнал и помеха некоррелированы, нахождение оптимальной физически реализуемой частотной передаточной функции производится в следующем порядке:

1. Вычисляем суммарную спектральную плотность управляющего сигнала и помехи и представляем эту сумму в виде двух комплексных сомножителей:

2. Выделяем составляющую

3. Раскладываем на простейшие слагаемые выражение , отбрасывая члены с полюсами, расположенными в нижней полуплоскости корней, т. е. выделяем из него физически реализуемую часть

4. Определяем оптимальную физически реализуемую частотную передаточную функцию системы:

Можно показать, что при наличии взаимной корреляции полезного сигнала и помехи оптимальная частотная передаточная функция

где — взаимные спектральные плотности управляющего сигнала и помехи.

Оптимальную передаточную функцию получают по найденной оптимальной частотой передаточной функции подставляя в последнюю вместо

Затем в соответствии с полученной передаточной функцией выбирают элементы системы. Если часть элементов задана и изменить их параметры не представляется возможным, то в таких случаях задача сводится к выбору параметров корректирующих цепей при найденной оптимальной передаточной функции системы управления в целом и известных передаточных функциях отдельных заданных элементов системы.

В системе, имеющей оптимальную передаточную функцию, получается теоретически достижимый минимум среднего квадрата ошибки:

Пример 9.6. На входе следящей системы действует случайный полезный сигнал имеющий спектральную плотность

где — значение спектральной плотности полезного сигнала на нулевой частоте.

На полезный сигнал наложена случайная помеха типа «бeлый шум», спектральная плотность которой равна , где — значение спектральной плотности помехи на нулевой частоте. Корреляция между полезным сигналом и помехой отсутствует.

Требуется определить оптимальную передаточную функцию следящей системы и соответствующую ей дисперсию суммарной ошибки

1. Вычисляем спектральную плотность суммарного входного сигнала и представляем ее в виде произведения комплексных сомножителей:

2. Определяем для чего раскладываем полученное выражение на комплексно-сопряженные множители:

где

Следовательно,

3. Находим составляющую . В нашем случае для следящей системы поэтому получаем

4. Раскладываем последнее выражение на простые слагаемые:

отбрасывая члены с полюсами, расположенными в правой полуплоскости, выделим физически реализуемую часть:

5. Находим оптимальную частотную передаточную функцию физически реализуемой системы:

где коэффициент усиления замкнутой оптимальной системы; — постоянная времени замкнутой оптимальной системы.

6. Подставляя в последнее выражение вместо находим оптимальную передаточную функцию замкнутой системы:

Подставляя числовые значения коэффициентов, получаем

Следовательно, в нашем случае оптимальная передаточная функция замкнутой системы

7. Определяем оптимальную передаточную функцию разомкнутой системы:

8. Определяем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке:

9. Определяем спектральную плотность ошибки:

60. Определяем дисперсию ошибки:

Средняя квадратическая ошибка, совпадающая в данном случае со средним квадратическим отклонением, равна