Исследование периодических колебаний в системах с широтно-импульсной модуляцией.

Выше были рассмотрены вопросы исследования систем регулирования с ШИМ-1 по линеаризованной модели, т. е. при небольшой глубине модуляции.

В общем случае система с ШИМ-1 является нелинейной системой и, следовательно, в ней возможны периодические колебания. Здесь мы проведем исследование симметричных периодических колебаний с помощью метода гармонического баланса.

Структурная схема рассматриваемой системы с ШИМ приведена на рис. 8.37. Предположим, что модулируется задний фронт импульса. Тогда импульная последовательность на выходе модулятора может быть определена соотношением

Здесь, как и ранее, — амплитуда; Т — такт следования импульсов; — моменты появления импульсов. Моменты появления импульсов будем называть тактовыми. Если тактовое значгние сигнала на входе модулятора превосходит некоторое пороговое значение , то соответствующий импульс будет заполнять весь интервал повторения. Такие импульсы будем называть насыщенными.

Зависимость изображена на рис. 8.39. Аналитически она может быть выражена следующим образом:

Рис. 8.39

Таким образом, при длительность импульса пропорциональна модулю входного воздействия, а при больших значениях длительность постоянна и равна интервалу повторения Т.

Если теперь принять во внимание выводы § 8.1 и соотношение (8.90), то широтно-импульсную систему (см. рис. 8.38) следует рассматривать как нелинейную, у которой нелинейность обусловлена, во-первых, модуляцией по длительности (квантованием) и, во-вторых, тем, что длительность импульсов является нелинейной функцией входного сигнала (рис. 8.39).

Положим и предположим, что в рассматриваемой системе установились симметричные, колебания, при которых число положительных импульсов в периоде равно числу отрицательных и что период колебаний равен где N — целое число. Тогда сигнал будет представлять собой периодическую функцию с периодом, равным (рис. 8.40, а).

С выхода модулятора на линейную часть будет в этом случае поступать последовательность импульсов, длительности которых также меняются периодически с тем же периодом (рис. 8.40, б). Эти длительности равны и определяются значениями с помощью соотношения (8.90). Величины являются параметрами периодических колебаний, так как они полностью определяют периодическую последовательность импульсов на выходе модулятора, а следовательно, и выходную величину непрерывной части, которая является реакцией на эту последовательность.

Последовательность импульсов, изображенную на рис. 8.40, б, можно разложить в ряд Фурье, т. е.

Рис. 8.40

представить в виде суммы гармонических составляющих, причем коэффициенты этого разложения можно выразить через неизвестные параметры

где

Обозначим частотную характеристику непрерывной части через , а величины учтем в приведенной непрерывной части. Тогда частотная характеристика приведенной непрерывной части запишется в виде

Находя по известным правилам и складывая реакции непрерывной части на каждую гармоническую составляющую выражения (8.91), найдем выходную величину непрерывной части:

Если в системе установились периодические колебания, то N значений переменной хпых в тактовые моменты времени должны быть равны N значениям сигнала

с обратным знаком (см. рис. 8.38). Для этих моментов времени можно записать

Соотношение (8.95) представляет собой N уравнений относительной неизвестных . В общем виде аналитически найти решение весьма затруднительно, поэтому сделаем предположение о том, что непрерывная часть обладает фильтрующими свойствами. Тогда если частота соответствующая периоду колебаний достаточно велика, то можно пренебречь всеми гармониками, кроме основной, частота которой равна т. е. положить

и в выражении (8.94) ограничиться только членом, соответствующим

Тогда условия существования периодических колебаний (8.95) запишутся так:

где

В выражении (8.97) точки лежат на синусоидальной кривой, период которой равен Для полного определения данной синусоиды нужно знать две величины: либо амплитуду и фазу, либо два каких-либо значения синусоиды. Зададимся двумя значениями например обозначим . Тогда все N параметров периодического колебания выражаются через эти два значения , т. е. число параметров колебания сводится к двум. Действительно записывая выражение (8.96) при получим

откуда

Подставляя эти выражения для а и b в (8.97), найдем

Таким образом, задача состоит в определении двух величин удовлетворяющих соотношению (8.99). Для этого введем в рассмотрение обратную частотную характеристику

Так как

то уравнение (8.99) перепишем в виде

Отсюда получим

Коэффициенты a и b, входящие в эти выражения, являются функциями , следовательно, мы имеем два уравнения с двумя неизвестными: .

Начало координат по времени выбрано так, что в моменты на выходе модулятора появляются только положительные импульсы, поэтому величинам можно придавать только такие значения, при которых все вычисляемые по (8.100), имеют положительные значения, т. е.

Эти неравенства определяют область возможных значений в плоскости координат, у которой по оси абсцисс отложена величина , а по оси ординат — Выражения (8.102) отображают эту плоскость на плоскость обратной частотной характеристики. Область возможных значений при этом отображается в такую область на плоскости что если в нее попадет точка этой характеристики, соответствующая то периодические колебания возможны.

Рассмотрим применение полученной методики на примере простейших периодических колебаний . В этом случае выражение (8.102) и выражение для а и b из (8.97) перепишутся в виде

Согласно (8.103), при возможные значения должны удовлетворять условию , т. е. область возможных значений представляет собой правую полуплоскость плоскости

Рис. 8.41

Разобьем всю область возможных значений на две области, границей которых является прямая . Рассмотрим область . Здесь колебания характеризуются тем, что импульсы в них являются ненасыщенными, при этом согласно формуле (8.90), в которой положено соотношения (8.105) принимают вид

Рассмотрим область Здесь импульсы являются насыщенными, т. е. При этом

На комплексной плоскости (рис. 8.41) пунктирной линией ограничена область, в которую обращается правая полуплоскость плоскости согласно формулам (8.104), (8.106), (8.107). Эта область заполнена семейством окружностей, соответствующих постоянным значениям

Если точка частотной характеристики при попадает в данную область, то в системе с ШИМ-1 устанавливаются периодические колебания с Меняя параметры системы или видоизменяя частотную характеристику за счет введения корректирующих устройств, можно вывести

Рис. 8.42

точку за пределы «запретной» области и соответственно устранить в реальной системе периодические колебания.

Аналогичным образом можно построить области, соответствующие колебаниям (см. [11]).

В заключение подчеркнем, что если точка при данном N попадает внутрь «запретной» области, то при одном и том же N возможны различные периодические колебания (с различными параметрами), а также возможны как ненасыщенные, так и насыщенные колебания.

«Запретные» области для насыщенных периодических колебаний при различных N от 1 до 4 приведены на рис. 8.42.