Наблюдаемость и восстанавливаемость

При синтезе оптимальных систем с обратной связью управления получаются как функции от фазовых координат. В общем случае фазовые координаты являются абстрактными величинами и не могут быть измерены. Поддается измерению (наблюдению) вектор который обычно называют выходным вектором или выходной переменной, а его координаты — выходными величинами. Выходная переменная функционально связана с фазовыми координатами, и для реализации управления с обратной связью необходимо определить фазовые координаты по измеренным значениям выходной переменной. В связи с этим возникают проблемы наблюдаемости и восстанавливаемости, заключающиеся в установлении возможности определения состояния объекта (фазового вектора) по измеренным значениям выходной переменной на некотором интервале.

Пусть объект описывается уравнением

а выходная переменная связана с фазовыми координатами соотношением

которое называется уравнением наблюдения.

Система (10.93), (10.94) называется вполне или полностью наблюдаемой, если существует такое что по данным измерения на интервале можно определить состояние Полная наблюдаемость означает, что имеется возможность определить состояние по будущим значениям выходной переменной. Однако в задачах управления текущее состояние объекта должно определяться по прошлым значениям выходной переменной, поэтому более важным обстоятельством является полная восстанавливаемость [10].

Система ((10.93), (10.94) называется вполне или полностью восстанавливаемой, если существует такое что по данным измерения на интервале можно определить состояние Нетрудно заметить, что для стационарных систем из полной наблюдаемости следует полная восстанавливаемость и наоборот, поэтому в таких случаях можно эти понятия не различать.

Наблюдаемость линейных стационарных систем.

Рассмотрим линейную стационарную систему

Введем так называемую матрицу наблюдаемости

Эта матрица состоит из столбцов матрицы произведений матриц и имеет размерность

Для линейной стационарной системы справедлив следующий критерий полной наблюдаемости: система (10.95), (10.97), вполне наблюдаема (восстанавливаема) тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости (10.97) равен Транспонированная матрица

имеет такой же ранг, что и матрица (10.97), поэтому вместо исходной матрицы наблюдаемости можно рассматривать транспонированную. Ниже приводится доказательство критерия наблюдаемости [6, 10].

Необходимость. Пусть ранг матрицы меньше . Тогда размерность пространства порожденного строками матрицы меньше является собственным подпространством пространства Поэтому существует ненулевой вектор ортогональный всем строкам матрицы (таким вектором является любой вектор из не принадлежащий подпространству

Из теоремы Гамильтона—Кэли [см. (10.85)] по индукции следует, что матрицы при линейно выражаются через поэтому из (10.99) получаем, что при всех Следовательно,

Пусть некоторому начальному условию соответствует выходная переменная . В силу соотношения (10.100) всем начальным условиям вида соответствует та же выходная переменная

Это и доказывает невозможность определения состояния по значениям выходной переменной, если ранг матрицы наблюдаемости меньше

Достаточность. Пусть ранг матрицы управляемости равен . В силу стационарности системы достаточно показать возможность определения состояния по известным значениям выходной переменной и управления на некотором интервале Имеем

или

Так как измеряются, матрицы С и А заданы, то функция и ее производные любого порядка являются известными функциями времени. Из последнего соотношения при получаем

или

Полученное векторное уравнение с неизвестными равносильно системе из пр уравнений. Так как по условию ранг матрицы равен то среди уравнений

имеется ровно независимых уравнений. Выделив эти уравнения и решив их, однозначно определим искомый век тор . На этом доказательство заканчивается.

Наблюдаемость (восстанавливаемость) системы (10.95), (10.96) полностью определяется матрицами А и С, поэтому используют следующую терминологию: пара , в которой — постоянные матрицы размерности называется вполне наблюдаемой (восстанавливаемой), если вполне наблюдаема (восстанавливаема) система (10.95), (10.96) Подпространство порожденное строками транспонированной матрицы наблюдаемости или, что то же, столбцами матрицы наблюдаемости Н, называют подпространством наблюдаемости (восстанавливаемости). Смысл такого названия будет ясен из дальнейшего изложения.

При неособом преобразовании

уравнения (10.95), (10.96) принимают вид

где

Как легко проверить, транспонированная матрица управляемости преобразованной системы

Так как ранг матрицы Т равен , то ранг матрицы совпадает с рангом матрицы . Таким образом, свойство наблюдаемости (восстанавливаемости), как и свойство управляемости, не зависит от выбора системы координат.

Пусть ранг матрицы наблюдаемости системы (10.95), (10.96) равен . Сформируем матрицу Т преобразования в виде

где вектор-строки матрицы образуют базис -мерного подпространства наблюдаемости (в частности, ими могут быть I независимых строк транспонированной матрицы наблюдаемости ), а вектор-строки матрицы вместе с вектор-строками матрицы образуют базис -мерного пространства. Тогда система (10.95), (10.96) в новых переменных приобретает вид так называемой канонической формы наблюдаемости [10]:

или

где -вектор; — матрицы соответствующей размерности, причем пара вполне наблюдаема. Из структуры системы уравнений (10.101) видно, что вектор никакого влияния на выходную переменную не оказывает, поэтому его координаты не могут быть определены по наблюдениям вектор-функции Эти координаты естественно называть ненаблюдаемыми или невосстанавливаемшш. Проекция фазового вектора на определяемая равенством и имеющая вид вполне наблюдаема. Другими словами, если система движется в подпространстве то она вполне наблюдаема. Отсюда и название подпространства наблюдаемости. Полностью невосстанавливаемый вектор имеет вид Если множество координат вектора пусто, то система называется полностью ненаблюдаемой (невосстанавливаемой). Используя каноническую форму наблюдаемости, можно сформулировать следующий критерий наблюдаемости (восстанавливаемости): линейная стационарная система (10.95), (10.96) вполне наблюдаема (восстанавливаема) в том и только в том случае, если в ее канонической форме наблюдаемости множество координат вектора является пустым.