Общая постановка задачи оптимального управления
Задача синтеза оптимальных систем управления относится к классу задач оптимального управления и формулируется как вариационная задача. При этом кроме уравнения объекта управления должны быть заданы ограничения на управление и фазовый вектор, краевые условия и выбран критерий оптимальности.
Пусть уравнение объекта задается в нормальной форме
или в скалярном виде
где 
— фазовый вектор; 
— управление или вектор управления. Как отмечалось в гл. 2, любое уравнение, разрешимое относительно старшей производной, можно преобразовать к равносильной нормальной системе.
На управление и фазовый вектор еще могут быть наложены ограничения в виде конечных соотношений — равенств, неравенств. Их в общем виде можно записать так:
Здесь 
— некоторые заданные множества, зависящие, вообще говоря, от времени, причем 
— подмножество 
-мерного пространства; 
— подмножество n-мерного пространства. В (10.2) первое соотношение называется ограничением на управление, второе соотношение — ограничением на фазовый вектор или фазовым ограничением. Ограничения на управление и фазовый вектор могут быть не разделены, и в общем случае они записываются в виде
Краевые (граничные) условия — ограничения на фазовый вектор в начальный 
и конечный 
моменты времени в общем виде можно записать так:
Вектор 
называют левым, а вектор 
— правым концом траектории. Краевые условия имеют вид (10.3), если ограничения на левый и правый конец траектории разделены. В противном случае они записываются в виде
Критерий оптимальности, который является числовым показателем качества системы, задается в виде функционала
Задача оптимального управления формулируется следующим образом: при заданных уравнении объекта управления 
ограничениях (10.2) и краевых условиях (10.3) требуется найти такие программное управление 
или управление с обратной связью 
и фазовую траекторию 
при которых критерий (10.4) принимает минимальное (или максимальное) значение. Дальше для определенности примем, что функционал (10.4) минимизируется. Задачу максимизации выбором нового критерия 
всегда можно свести к задаче минимизации. Управления 
и траектория 
называются оптимальными. При решении задач синтеза оптимальных систем управления обычно бывает достаточно найти оптимальное управление.
