Наблюдатель Калмана—Бьюси при цветном шуме наблюдения.

Пусть объект и наблюдение описываются уравнениями

Здесь — белый шум с интенсивностью случайный вектор имеет характеристики

шум наблюдения z подчиняется уравнению

где — белый шум с интенсивностью

Шумы не коррелированы со случайным вектором но могут быть коррелированы между собой:

Задача линейного оптимального оценивания с цветным шумом наблюдения решается также преобразованием ее в задачу линейного оптимального оценивания с белыми шумами.

Из (10.221)-(10.222) получаем

Введем новый вектор наблюдения

После подстановки выражений для у и у получим

где

В преобразованном уравнении наблюдения (10.224) шум является белым. Его будем называть обобщенным шумом наблюдения. Как легко показать, его интенсивность и взаимная интенсивность (шумы коррелированы и в том случае, когда шумы не коррелированы) определяются следующим образом:

Предположим, что матрица не вырождена. Тогда наблюдатель Калмана—Бьюси описывается соотношениями (10.192)-(10.194), где матрицы определяются из (10.225) и (10 226). Вектор наблюдения у вычисляется по (10.223). В (10.223) входит производная у, которая может быть получена дифференцированием измеряемой переменной у. Однако такая операция нежелательна, так как дифференцирование повышает уровень помех. Чтобы избежать дифференцирования, нужно произвести дальнейшее преобразование. Введем вектор х, определяемый соотношением

Продифференцировав это соотношение по времени и подставив выражения для х из (10.192) и для у из (10.223), получим

или, принимая во внимание (10.227),

В последнее уравнение производная у не входит. Из него сначала вычисляется х, а затем из (10.227) находится искомая оценка.

Пример 10.26. Пусть объект и наблюдение описываются скалярными уравнениями Шум наблюдения имеет следующие характеристики:

В примере 10.25 для такого шума было получено уравнение формирователя

В данном случае поэтому из (10.225) и (10.226) получаем:

Из (10.228) и (10.227) находим

Так как то определяются из (10.195):

Как легко проверить,