Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 9.10. Статистическая линеаризация нелинейных элементовНаибольшее распространение в практике расчета нелинейных систем при случайных воздействиях получил приближенный метод, называемый методом статистической линеаризации, разработанный в 1954 г. одновременно И. Е. Казаковым в СССР и Р. Бутоном в США. Идея метода основана на приближенной замене нелинейных преобразований процессов, происходящих в системе, статистически эквивалентными им линейными преобразованиями, при этом нелинейный элемент заменяется статистически эквивалентным линейным элементом. В результате такой замены система в целом линеаризуется и для ее исследования можно применять аппарат линейной теории. Возможны различные критерии статистической эквивалентности, которые могут быть положены в основу метода статистической линеаризации. В тех случаях, когда линеаризуют безынерционный нелинейный элемент, у которого нелинейная зависимость между входным
где 1. Критерий равенства математического ожидания и дисперсии случайного процесса на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного элемента. 2. Критерий минимума математического ожидания квадрата разности случайных процессов на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного элемента. Познакомимся с этими критериями, ограничиваясь рассмотрением только однозначных нелинейных характеристик, которые могут быть либо нечетными, либо четными. Напомним, что для нечетных и четных характеристик соответственно справедливы соотношения
Случайные процессы на входе и выходе нелинейного элемента могут быть представлены следующим образом:
где Заметим, что для четных нелинейных характеристик, обладающих выпрямляющими свойствами, математическое ожидание В общем случае для однозначной нелинейной функции
где Таким образом, в общем случае нелинейный безынерционный элемент (рис. 9.25, а) заменяют двумя безынерционными элементами: нелинейным по математическому ожиданию и линейным по случайной центрированной составляющей (рис. 9.25, б). В частном случае, когда нелинейный безынерционный элемент имеет нечетную характеристику, функция
где В этом случае нелинейный элемент можно эквивалентно заменить двумя линейными элементами с коэффициентами усиления Покажем сначала, как находят коэффициенты
Рис. 9.25
Рис. 9.26 критерии статистической эквивалентности, состоящем в выполнении равенства математического ожидания и дисперсии случайного процесса на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного элемента, т. е. когда
Принимая во внимание (9.174), получаем
Для нечетных нелинейностей, учитывая (9.175), получим
Чтобы найти статистически эквивалентный коэффициент
откуда
Обозначение Статистические коэффициенты
Знаки в (9.180) и (9.183) следует выбирать такими, чтобы знаки Второй критерий статистической эквивалентности требует выполнения условия минимума математического ожидания квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и эквивалентного линейного элемента, т. е.
Подставляя в (9.184) значения
После выполнения операции возведения в квадрат и вычисления математического ожидания имеем
где При заданных значениях Значения
В случае нечетной нелинейной характеристики
Значение коэффициента
откуда
Обозначение Статистический коэффициент
Обычно значение коэффициента
Сравнивая (9.178), и (9.179) с (9.186) и (9.187), видим, что коэффициенты Из (9.181), (9.182), (9.183) и (9.189) видно, что статистически эквивалентные коэффициенты усиления зависят не только от вида характеристики нелинейного элемента При использовании метода статистической линеаризации приближенно полагают, что закон распределения случайного процесса является нормальным. Такое предположение можно сделать потому, что при прохождении случайного сигнала с любым законом распределения через линейные инерционные звенья на выходе последних закон распределения случайного сигнала оказывается близким к нормальному. При этом чем инерционнее система, тем закон распределения случайного сигнала на ее выходе ближе к нормальному. Наличие нелинейного элемента в системе нарушает это, однако при достаточно узкой полосе пропускания линейной части системы имеется тенденция к восстановлению нормального закона распределения. При нормальном законе распределения плотность вероятности однозначно определяется математическим ожиданием и дисперсией случайного процесса, поэтому в этом случае коэффициенты
То обстоятельство, что коэффициенты Формулы (9.181), (9.182), (9.183) и (9.189) при нормальном законе распределения будут иметь следующий вид:
Если умножить выражение (9.193) на ту, затем продифференцировать произведение
Соотношение (9.196) может быть использовано как для нахождения коэффициента Пример 9.9. На входе нелинейного элемента, имеющего статическую квадратичную зависимость 1. Так как характеристика нелинейного элемента является четной, то в соответствии с (9.181) функция
2. На основании (9.196), дифференцируя полученное выражение для
Пример 9.10. На входе нелинейного элемента типа идеального реле (рис. 9.27, а) с характеристикой
действует случайный сигнал 1. Определяем эквивалентный статистический коэффициент усиления по математическому ожиданию
Вводя обозначение
(кликните для просмотра скана) 3. Определяем эквивалентный статистический коэффициент усиления
Учитывая (9.197), получаем
Из (9.198), (9.199) и (9.200) видно, что при нормальном законе распределения коэффициенты
Для вычисления коэффициентов статистической линеаризации достаточно знать математическое ожидание ту и дисперсию Построенные по (9.198), (9.199), (9.200) графики коэффициентов Таким образом, случайная составляющая входного сигнала создает эффект линеаризации нелинейного элемента для регулярной составляющей (среднего значения) сигнала. Метод статистической линеаризации формально похож на метод вибрационной линеаризации нелинейного элемента колебаниями высокой частоты постоянной амплитуды. В свою очередь, регулярная составляющая входного сигнала оказывает влияние на прохождение случайной составляющей. Так, например, для рассмотренного нелинейного элемента типа идеального реле передача случайной составляющей ослабляется за счет насыщения нелинейного элемента регулярной составляющей сигнала, поскольку коэффициенты Ограничения в использовании метода статистической линеаризации обусловлены требованиями нормального закона распределения случайного процесса на входе нелинейного элемента, что выполняется достаточно хорошо, если линейная часть системы будет обладать свойствами низкочастотного фильтра. Для нормального закона распределения значения коэффициентов Метод статистической линеаризации особенно эффективен при анализе стационарного режима работы системы автоматического управления. В этом случае В нестационарном режиме, который может быть вызван, например, переходным процессом, нестационарностью воздействий или самой системы, коэффициенты статистической линеаризации изменяются во времени. Линеаризованная система оказывается при этом системой с переменными параметрами и ее исследование усложняется. Исследования системы в этом случае могут производиться с помощью аналоговых или цифровых вычислительных машин.
|
1 |
Оглавление
|