Задача максимального быстродействия

Эта задача формулируется следующим образом: найти допустимое управление, переводящее заданный объект из начальной точки (множества) в конечную точку (конечное

множество) за минимальное время. Разработка принципа максимума началась с решения этой задачи. Она является частным случаем задачи с подвижными концами и нефиксированным временем. Если положить то критерий оптимальности имеет вид поэтому в данном случае и функция Понтрягина Если концы закреплены, то и условия трансверсальности принимают вид

Пример 10.5. Решим задачу

Гамильтониан, сопряженные уравнения и их решения имеют такой вид:

Из принципа максимума

получаем . Так как — линейная функция, то на интервале функция может изменить знак не более одного раза, причем из условия задачи (см. граничные условия) ясно, что вначале или на всем интервале

Подставив это выражение в уравнения объекта и решив их, получим

Из краевых условий на левом конце следует на правом конце . В силу непрерывности фазовой траектории в точке

Таким образом, оптимальное управление

Рассмотрим задачу максимального быстродействия, когда объект является линейным (описывается линейными дифференциальными уравнениями):

Эта задача называется линейной задачей максимального быстродействия. В матричной форме уравнения объекта принимают вид

Предполагается, что эти уравнения являются уравнениями в отклонениях и поэтому конечное состояние, в которое нужно перевести объект, есть начало координат . Функция Понтрягина

где подчиняется сопряженному уравнению

или сопряженной системе уравнений

Согласно принципу максимума, оптимальное управление находят из условия

или

где

Если выполняется так называемое условие нормальности (см. ниже), то сумма обращается в нуль только в изолированных точках. В этом случае из последнего тождества следует, что координаты оптимального управления и кусочно-постоянны и принимают крайние значения или

В частном случае, когда ограничение имеет вид