Дискретное преобразование Лапласа и его основные свойства.

Решетчатой функцией называется функция, значения которой изменяются только при целых значениях аргумента (рис. 8.12, б). Будем обозначать решетчатую функцию символом и предполагать, что решетчатая функция тождественно равна нулю при отрицательных значениях аргумента. Рассмотрим ряд

Данное соотношение устанавливает соответствие между решетчатой функцией называемой оригиналом, и функцией комплексного переменного называемой изображением решетчатой функции . Это соответствие будем записывать в виде

Преобразование решетчатых функций, определяемое данным соотношением, назовем дискретным преобразованием Лапласа.

Рассмотрим основные свойства дискретного преобразования Лапласа.

1. Теорема линейности

где

2. Теорема сдвига

3. Теорема смещения

4. Теорема о дифференцируемости по параметру

5. Теорема умножения решетчатой функции на

6. Теорема свертывания

7. Переменные значения решетчатой функции

Воздействие импульсного элемента на приведенную линейную часть определяется значениями в моменты съема Это значение может быть определено из уравнения сумматора (рис. 8.12, а)

где — решетчатая функция, совпадающая в моменты

Применив к соотношению (8.20) дискретное преобразование Лапласа, получим уравнение замыкания системы:

где

— символ дискретного преобразования Лапласа:

Найдем связь изображений входного и выходного сигналов разомкнутой импульсной системы.

Реакция линейной части системы на импульс, имеющий относительную длительность амплитуду, равную 1, и действующий в момент определяется соотношением

где вычисляется по формуле, аналогичной (8.17), если предварительно в передаточной функции заменить на

Так как на линейную часть системы действует последовательность импульсов амплитуды в моменты то в соответствии с принципом наложения реакция линейной части будет равна сумме реакций от каждого импульса:

Здесь

Для дискретных моментов времени

Заменяя формально величины, входящие в соотношение (8.24), решетчатыми функциями, значения которых совпадают с ними в дискретных точках, и применяя затем к обоим частям дискретное преобразование Лапласа и теорему свертывания, получим

Принимая во внимание обозначения (8.21 б) и обозначая

запишем соотношение (8.25 а) в виде

соотношение (8.26) определяет связь между изображениями решетчатых функций, соответствующих входной и выходной переменным разомкнутой импульсной системы.

Величина называется передаточной функцией разомкнутой импульсной системы. Согласно (8.256) и (8.216), она равна

Если принять, что обычно , то

Для вычисления передаточной функции определяемой соотношением (8.28), найдем сначала

Так как может быть определена по выражению (8.17), если в нем заменить на на то

Подставляя (8.30) при в (8.28), после несложных вы числений получаем

где

Если один из корней, например равен нулю, то слагаемое, соответствующее должно быть заменено на

Отметим некоторые особенности передаточной функции разомкнутой импульсной системы

1. является функцией

2. Так как то является периодической функцией вдоль мнимой оси плоскости

Для определения передаточной функции замкнутой импульсной системы решим совместно уравнение замыкания (8.21 а) и уравнение разомкнутой системы (8.26). В результате получим

Согласно (8.33), передаточная функция замкнутой системы

Соответственно передаточная функция по сигналу х на входе импульсного элемента (передаточная функция ошибки) имеет вид

Таким образом, можно предложить следующий порядок составления уравнений импульсной системы:

1) в передаточную функцию линейной части подставить и привести ее к безразмерной переменной тогда

2) по этой передаточной функции определить передаточную функцию разомкнутой импульсной системы, используя соотношение (8.31);

3) определить передаточную функцию замкнутой системы пользуясь выражением (8.34).