Управляемость при наличии ограничения на управление.

Пусть имеется ограничение на управление и объект описывается уравнением

Допустимым для объекта, описываемого уравнением (10.91), управлением является кусочно-непрерывная вектор-функция, принимающая значения из множества Введем понятие об управляемости относительно заданной точки.

Объект называется вполне управляемым относительно точки если, какова бы ни была точка существует допустимое управление на конечном интервале переводящее объект из точки в точку

Введенную выше полную управляемость можно определить как полную управляемость относительно любой точки Заметим, что при наличии ограничения на управление полная управляемость и полная управляемость относительно заданной точки не совпадают и в случае линейного объекта. Как было показано выше, при отсутствии ограничения на управление для линейного объекта оба эти понятия совпадают.

Пример 10.15. Рассмотрим объект, который описывается скалярным уравнением

В данном случае и пара вполне управляема. Но то же время объект вполне управляем не относятельно любой точки. Например, он вполне управляем относительно точки в то же время он не вполне управляем относительно любой точки для которой Покажем это.

Решение рассматриваемого уравнения при имеет вид

или при

Примем . Тогда при имеем

Это выражение обращается в нуль при Получение время является конечным при любом Очевидно, объект пеоеводится в точку из произвольной точки за конечное время если принять и

Теперь покажем, что нет допустимого управления, которое переводит объект в точку для которой из точки . При имеем

При любом допустимом управлении справедливо неравенство

поэтому равенство невозможно при любом если .

Рассмотрим достаточное условие управляемости для линейного стационарного объекта с ограничением на управление:

Для этого объекта справедливо следующее утверждение [13]: объект (10.92) вполне управляем относительно точки если пара вполне управляема и собственные значения матрицы А, т. е. корни уравнения имеют отрицательные вещественные части при векторном управлении или неположительные вещественные части при скалярном управлении

Пример 10.16. Проверим управляемость объекта, описываемого уравнениями

В данном случае управление скалярное и

Как легко проверить, пара вполне управляема и собственные значения матрицы А равны нулю. Следовательно, объект вполне управляем относительно точки