Вырожденные задачи

Методы классического вариационного исчисления и принцип максимума не всегда позволяют найти оптимальное управление. Существуют задачи, в которых необходимые условия оптимальности, даваемые этими методами, выполняются тривиальным образом и им помимо одного оптимального управления удовлетворяет множество других управлений, среди которых могут быть как оптимальные, так и неоптимальные управления. Задачи этого класса называют вырожденными. К числу вырожденных относятся линейные задачи, для которых условия общности положения не удовлетворяются.

Если обнаруживается, что внутри интервала имеется конечный отрезок времени такой, что на нем вдоль соответствующих управлению траектории и сопряженной функции выполняются тождества

или

то оптимальное управление называют вырожденным в классическом смысле в случае (10.58) или вырожденным в смысле принципа максимума в случае (10.59). Вообще говоря, условия (10.58) и (10.59) не всегда выполняются одновременно.

В вырожденных задачах оптимальное управление нельзя найти только из (10.58) или (10.59) и требуются дополнительные условия. Одним из необходимых дополнительных условий для вырожденных скалярных управлений являются неравенства

При пользовании этим условием производится последовательное дифференцирование по времени, пока в одной из производных не появится и, что и даст возможность найти оптимальное управление. Доказано, что при таком последовательном дифференцировании раз управление может появиться лишь при четном

Такого рода вырожденные задачи встречаются, в частности, когда гамильтониан Я линейно зависит от и.

Пример 10.9. Пусть

Тогда

В соответствии с принципом максимума Если на каком-либо отрезке времени интервала [0, 10] получится управление будет вырожденным. Допустим, что такой отрезок существует. Для такого отрезка справедливы

откуда для вырожденного управления получаем

Таким образом, оптимальное управление может принимать только крайние значения: или 1, когда и 0, когда . Одним из управлений, удовлетворяющих этому условию, является управление

Проинтегрируем уравнение объекта при этом управлении с учетом граничных условий. Тогда получим

Из условия непрерывности траектории следует откуда

Рассмотренная задача является вырожденной как в классическом смысле, так и в смысле принципа максимума на отрезке.