§ 7.7. Метод гармонического баланса

Метод гармонического баланса не использует гипотезы порождающей системы, а основан на следующих рассуждениях. Разомкнем систему перед входом нелинейного элемента. В автоколебательном режиме первые гармоники величин х и у на входе и выходе нелинейного элемента соответственно равны:

Эти уравнения более удобно записать в комплексной форме:

На выходе разомкнутой системы имеем

Автоколебания в замкнутой системе будут существовать, если выход и вход разомкнутой системы связаны соотношениями которые имеют место и в замкнутой системе (рис. 7.34), или

Так как равенство справедливо для любых приравняем нулю выражение в квадратных скобках:

Рис. 7.34

Рис. 7.35.

Из (7.41) легко получить равенства

Первое из этих равенств было впервые предложено Л. С. Гольдфарбом (СССР), второе, независимо, но несколько позднее, — Р. Коченбургером (США).

Равенства используются для графоаналитического решения задачи.

По методу Гольдфарба строят (рис. 7.35, a): — амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы; — кривую гармо нического коэффициента передачи, или, по американской терминологии, описывающей функции. На первой точками отмечают ряд значений на второй — значения

В точках пересечения кривых с помощью интерполяции между соседними с ними значениями находят значения частоты и амплитуды автоколебаний.

По Методу Коченбургера эти параметры сходным образом находят по точкам пересечения кривых

Пример 7.1. Линейная часть системы состоит из двигателя постоянного тока и безынерционного усилителя. Ее передаточная функция

где — электромеханическая постоянная времени; — электромагнитная постоянная времени; К — общий коэффициент усиления линейном части.

Рис. 7.36

Нелинейный элемент — поляризованное реле с зоной нечувствительности. Реле срабатывает мгновенно. Его статические характеристики

где

Вычислить обратную амплитуднофазовую характеристику линейной части. Подставляя в выражение обратной передаточной функции и разделяя вещественную и мнимую части, получим

Годограф (рис. 7.36) пересекает действительную ось, когда его мнимая часть обращается в нуль, т. е. при Частота обращающая в нуль это выражение, является одновременно порождающей частотой, т. е. частотой автоколебаний

Отрезок с действительной оси от начала координат до точки пересечения равен

Из (7.34) определим

где а находят из соотношения или .

Окончательно

Амплитуду колебаний найдем из уравнения

В данном случае решение можно получить аналитически:

Точка пересечения одна, но ей соответствуют два значения амплитуд. Первое (меньшее) получается при движении вдоль оси в направлении возрастания А при движении вправо, при дальнейшем возрастании амплитуды направление движения в некоторой точке изменится. Второе пересечение получится при большей амплитуде при движении влево. Если или то пересечения характеристик не произойдет и автоколебания не возникнут.

Об устойчивости автоколебаний. Рассмотренные методы позволяют формально найти периодическое решение линеаризованного уравнения системы, но не все эти решения будут соответствовать реально существующим автоколебаниям. Физически возможны лишь устойчивые периодические движения, поэтому возникает проблема исследования устойчивости найденных периодических решений. К сожалению, пока не удалось найти необходимых и достаточных условий устойчивости решений, полученных методом гармонического баланса, в особенности для неоднозначных характеристик. Л. С. Гольдфарб, используя критерий Найквиста, получил следующий критерий. Пусть построены кривые . Будем двигаться по кривой в направлении возрастания А. Если разомкнутая линейная система устойчива, то той точке пересечения характеристик в которой мы входим в контур амплитудно-фазовой характеристики соответствует неустойчивое периодическое решение, в точке же выхода из контура решение устойчиво и эта точка определяет параметры автоколебаний. Так, на рис. 7.35, а точке М соответствуют устойчивые, а точке — неустойчивые автоколебания. При использовании обратной амплитудно-фазовой характеристики и характеристики также двигаемся в направлении возрастания А. При этом устойчивые автоколебания соответствуют точке входа в контур М, неустойчивые — точке выхода из него (рис. 7.36, б).

Показано, что для однозначных характеристик этот критерий является необходимым, но не достаточным, хотя в практических задачах он приводит к правильным результатам. Для неоднозначных же характеристик пока не удалось обосновать даже только необходимости или только достаточности критерия.