§ 9.8. Случайные процессы в линейных импульсных системах

Аналогом непрерывной реализации случайного процесса для импульсных систем является дискретная (решетчатая) реализация (рис. 9.22, а), представляющая собой последовательность ординат, совпадающих с соответствующим значением непрерывной реализации в дискретные моменты относительного времени , где Т — период квантования.

Совокупность решетчатых реализаций называют дискретным (решетчатым) случайным процессом Дискретные случайные процессы, по аналогии с непрерывными случайными

Рис. 9.22

процессами, могут характеризоваться такими статистическими характеристиками, как математическое ожидание (момент первого порядка), корреляционная функция (момент второго порядка) и т. д.

Математическое ожидание и корреляционная функция (а также любые моменты порядка) дискретного случайного процесса равны математическому ожиданию и корреляционной функции (моменту порядка) соответствующего непрерывного случайного процесса, взятым в дискретные моменты времени

В дальнейшем будем рассматривать стационарные эргодические случайные процессы. В этом случае среднее значение по множеству (математическое ожидание) равно среднему значению по времени, которое определяется следующей суммой:

где — любая реализация дискретного случайного процесса.

Среднее значение квадрата стационарного случайного процесса (с равным нулю средним значением) называют дисперсией дискретного случайного процесса:

Корреляционной функцией стационарного дискретного случайного процесса (с равным нулю средним значением) является неслучайная дискретная (решетчатая) функция

где — дискретные значения относительного времени.

Дискретная корреляционная функция обладает следующими основными свойствами:

1. Начальное значение дискретной корреляционной функции (при равно дисперсии дискретного случайного процесса:

2. Дискретная корреляционная функция при достигает наибольшего значения:

3. Дискретная корреляционная функция является четной:

При наличии двух дискретных случайных процессов, вводят понятие взаимной корреляционной функции

свойства которой схожи со свойствами взаимной корреляционной функции для непрерывных случайных процессов. Так, например,

а в случае, если статистически независимы (взаимно некоррелированы), имеем

Спектральная плотность дискретного случайного процесса по аналогии с обычной спектральной плотностью находится как дискретное преобразование Фурье от ординат дискретной корреляционной функции:

где — относительная круговая частота.

Спектральная плотность дискретного случайного процесса связана со спектральной плотностью соответствующего ему непрерывного случайного процесса:

Из (9.159) видно, что спектральная плотность дискретного случайного процесса является периодической функцией частоты

Графики типичной корреляционной функции дискретного стационарного случайного процесса и соответствующей ему спектральной плотности приведены на рис. 9.22, б, в.

Взаимную спектральную плотность двух дискретных случайных процессов можно определить через взаимную корреляционную функцию:

Корреляционные функции и спектральные плотности дискретного случайного процесса связаны следующими зависимостями:

На основании (9.161) полагая , получаем

Из (9.163) видно, что дисперсия дискретной случайной функции пропорциональна значению интеграла от 0 до от ее спектральной плотности.

Методы расчета импульсных систем автоматического управления при случайных воздействиях аналогичны методам расчета непрерывных систем. Как и в непрерывных системах (см. § 9.6), каждую координату линейной импульсной системы можно представить в виде двух составляющих: эквивалентной регулярной составляющей и центрированной случайной составляющей. Каждую из составляющих находят отдельно, а затем на основании принципа суперпозиции складывают. По аналогии с непрерывными системами чаще всего при практических расчетах используют зависимости между спектральными плотностями дискретных случайных сигналов входной величины и ошибки

Рассмотрим линейную импульсную систему, дискретная передаточная функция которой, связывающая входной сигнал в ошибку, равна Пусть на вход этой системы поступает стационарный случайный процесс равный , где — математическое ожидание (среднее значение) стационарного случайного процесса; — центрированная составляющая случайного процесса. Для центрированной составляющей случайного процесса должна быть задана спектральная плотность зная которую, можно определить по (9.159) спектральную плотность

Тогда дискретная спектральная плотность ошибки импульсной системы определяется по формуле

где — частотная передаточная функция замкнутой импульсной системы по ошибке.

Зная спектральную плотность ошибки можно по (9.163) определить дисперсию ошибки .

Регулярная составляющая (математическое ожидание) дискретной случайной ошибки в данном случае определяется через частотную передаточную функцию замкнутой импульсной системы по ошибке: 1

В общем случае, когда эквивалентная регулярная составляющая входного сигнала (включающая в себя как математическое ожидание входного случайного процесса, так и регулярный внешний сигнал) изменяется во времени, регулярная составляющая ошибки также будет изменяться во времени.

Регулярную составляющую дискретной ошибки обусловленную, например, действием регулярного входного сигнала можно определить, используя различные способы. В общем случае по известной дискретной передаточной функции сначала находят Z-изображение регулярной составляющей ошибки а затем находят регулярную составляющую (оригинал) ошибки, вычисляя интеграл обращения с помощью теоремы вычетов.

При медленно изменяющемся входном сигнале установившееся значение регулярной составляющей ошибки можно определить, например, способом, аналогичным способу коэффициентов ошибок для непрерывных систем, разлагая изображение регулярной составляющей ошибки в степенной ряд.

Расчет дисперсии по формуле (9.163) существенно упрощается в тех случаях, когда случайная функция представляет собой центрированный случайный процесс, эффективное время корреляции которого меньше периода квантования. В этом случае считают, что

и представляют случайный процесс как белый шум с корреляционной функцией

где — дисперсия входного воздействия; — единичная решетчатая импульсная функция, равная единице при и равная нулю при Этому белому шуму соответствует спектральная плотность

При расчете замкнутых импульсных систем, на которые одновременно воздействуют полезный сигнал и помеха, часто интересуются точностью системы, характеризующейся средним значением квадрата дискретной случайной ошибки и определяемой по формулам, аналогичным по своей структуре

соответствующим формулам для непрерывных стационарных систем.

Например, если на вход импульсной системы поступают случайные стационарные статистически не связанные (некоррелированные) полезный сигнал и помеха то спектральная плотность дискретной случайной ошибки

где — дискретные спектральные плотности входного сигнала и помехи; — частотные передаточные функции замкнутой импульсной системы, связывающие соответственно полезный сигнал и помеху с ошибкой.

Дисперсию дискретной ошибки определяют через спектральную плотность по формуле (9.163).

Среднее значение квадрата установившейся дискретной ошибки

где — эквивалентная регулярная составляющая ошибки; — дисперсия ошибки.

Аналитические вычисления по (9.165) в общем случае являются достаточно трудоемкими, однако при определенных условиях их можно свести к вычислению табличных стандартных интегралов, с помощью которых, аналогично тому, как это делается для непрерывных систем, можно выразить значение дисперсии ошибки через параметры импульсной системы и дискретных спектральных плотностей внешних воздействий.

Приведенные выше формулы записаны для дискретных относительных моментов времени (моментов квантования), соответствующих значениям Однако они могут быть записаны не только для моментов квантования, но и для любого момента времени между ними , где . В последнем случае рассматривают смещенные дискретные (решетчатые) функции соответствующие передаточные функции импульсной системы и корреляционные функции

Следует отметить, что имеются также аналитические метода решения задач оптимизации импульсных систем при случайных воздействиях, которые аналогичны методам оптимизации для непрерывных систем, однако они применимы только

для ограниченного класса систем и довольно громоздки. Поэтому на практике в большинстве случаев исследования импульсных систем при случайных воздействиях проводят методами моделирования.