переходную функцию
следующим образом:
где X — независимая переменная интегрирования.
Для момента времени
получаем
где
— новое обозначение независимой переменной интегрирования.
Корреляционная функция
стационарного случайного процесса
на основании (9.31) равна
Подставляя в (9.69) значение
и изменяя последовательность интегрирования, получим
Так как
окончательно получаем
Выражение (9.70) является основным интегральным соотношением, позволяющим по известной корреляционной функции
случайного процесса на входе системы и известной импульсной переходной функции
системы найти корреляционную функцию
случайного процесса на выходе системы.
Определим теперь, связь между спектральными, плотностями входного и выходного случайных процессов. В соответствии
с (9.52) спектральная плотность случайного процесса
на выходе системы
Подставляя в (9.71) значение
из (9.70) получаем
Учитывая, что изображение Фурье импульсной переходной функции есть частотная передаточная функция, т. е.
выражение для спектральной плотности можно записать в виде
Принимая во внимание, что
окончательно получаем
Таким образом, спектральная плотность стационарного случайного процесса на выходе линейной системы равна спектральной
где
новое обозначение независимой переменной интегрирования.
Подставляя (9.76) и (9.77) в (9.31), получаем
Раскрывая скобки и меняя пределы интегрирования, получаем
Нетрудно заметить, что выражения, заключенные в квадратные скобки в первом и последнем слагаемых, равны корреляционным функциям
соответственно, а аналогичные выражения во втором и третьем слагаемых — взаимным корреляционным функциям
Учитывая сказанное, окончательно находим
Выражение (9.78) является основным интегральным соотношением, устанавливающим связь между корреляционной функцией
выходного сигнала и четырьмя корреляционными функциями
двух статистически взаимосвязанных входных сигналов.
Найдем для этого случая спектральную плотность
выходного сигнала. Подставляя (9.78) в (9.52), получим
Меняя порядок интегрирования, получаем
Учитывая (9.73), формулу для спектральной плотности можно окончательно записать следующим образом:
где
— частотные передаточные функции, комплексно-сопряженные с
В (9.79) величины
являются взаимными спектральными плотностями.
Формула (9.79) является выражением для спектральной плотности выходного сигнала для общего случая, когда система находится под воздействием двух статистически взаимосвязанных стационарных случайных процессов
Если случайные процессы
статистически независимы (корреляция между ними отсутствует), то
и выражения для корреляционной функции и спектральной плотности выходного случайного процесса принимают вид