Примечание к критерию Попова.

1. При выводе критерия Попова из частотного условия для облегчения доказательства принималось, что На самом деле, если условие (7.82) выполняется при отрицательном система также будет абсолютно устойчивой. Доказательство этого здесь не приводится. Его можно прочитать в [1, 5).

2. При получении условия Попова считалось, что матрица А устойчива, т. е. что все ее собственные значения лежат слева от мнимой оси. Но иногда приходится встречаться с системами, у которых это условие не выполнено. Так, линейная часть часто бывает нейтральной (астатической) и ее передаточная функция имеет один нулевой полюс, т. е. полюс на мнимой оси в начале координат, а остальные полюсы лежат слева от мнимой оси. В этом случае можно воспользоваться слегка модифицированным условием Попова. Вместо функции не имеет полюсов на мнимой оси) рассмотрим функцию где положительно и сколь угодно мало. Если при этом система замкнутая, образованная замыканием линейной части линейной обратной связью (где предельно устойчива, т. е. устойчива и остается устойчивой при ), то все условия критерия Попова относительно линейной части соблюдаются. Но так как линейная часть при этом изменена, хотя и на бесконечно малую величину, зависящую от то, чтобы рассматриваемая система осталась эквивалентной исходной, должна быть изменена и нелинейная часть. Это изменение в данном случае состоит в том, что характеристика

теперь должна принадлежать не сектору , а сектору , т. е. удовлетворять условиям

малая положительная величина, зависящая от и также стремящаяся к нулю при

Таким образом, практически можно пользоваться условием Попова и в этом случае нужно только исключить из класса те характеристики которые могут касаться вещественно оси.

Точно так же можно иногда и сследовать с помощью критерия Попова и системы, у которых матрица А имеет пару чисто мнимых корней при остальных корнях в левой полуплоскости и даже при наличии неустойчивой матрицы А. Для этого делается замена переменной

где — такой n-вектор, что матрица становится гурвицевой. Для управляемой системы такой вектор можно подобрать всегда. При этом получаем систему, эквивалентную исходной, но с другими линейной и нелинейной частями и другими входом и выходом. Линейная часть имеет передаточную функцию

ее вход и выход равны а нелинейная часть удовлетворяет теперь квадратичной связи

Если для этой новой нелинейности можно установить сектор , в котором лежит характеристика то можио воспользоваться критерием Попова; если нет — нужно использовать частотное условие (7.72) для новой нелинейности и новой частотной характеристики

3. Так как преобразованная частотная характеристика должна пересекать вещественную ось правее точки то и исходная частотная характеристика также должна пересекать вещественную ось правее этой точки.

4. Если уравнения системы заданы в виде (7.55), то должно быть . В самом деле, при имеем

и точка должна лежать правее точки т. е.

Таким образом, условие справедливо, без него условия Попова не могут быть выполнены, но оно следует из критерия Попова и поэтому не должно включаться в него, как предварительно задаваемое условие.

5. Приведем без доказательства алгоритм проверки условия В. М. Попова [12). Построим полином

где — степень характеристического полинома линейной части. Составим таблицу:

Первые две строки таблицы образованы из коэффициентов полинома (первая строка) и из производных (вторая строка). Элементы остальных строк вычисляются по правилу составления таблицы Рауса, приведенному в первой части. Если элементы первого столбца данной таблицы удовлетворяют условию

где N — число перемен знаков в той последовательности, которая заключена в (7.83) в квадратные скобки, то условие Попова (7.80) выполняется при всех .