Примеры постановки задач оптимального управления.

1. Задачи оптимального управления летательным аппаратом (ЛA). Уравнение (объекта управления) в вертикальной плоскости

или в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси неподвижной системы координат

где — масса — «реактивная» масса; — скорость — реактивная сила; — равнодействующая всех остальных сил (сила притяжения Земли, сила сопротивления воздуха и др.). Реактивная сила

где — относительная скорость отделяющихся частиц; — евклидова норма вектора ; - секундный расход реактивной массы. Обозначая — уравнение ЛА можно записать в виде нормальной системы

или в векторной форме

В последнем уравнении

Отношение реактивной силы к массе ЛА принимается за управление. Траектория ЛА не должна пересекать земную поверхность, т. е. должно выполняться фазовое ограничение

Задача 1 вывода ЛА в заданную точку фазового пространства за минимальное время. Пусть реактивная сила ограничена: . Требуется вывести ЛА из фиксированной начальной точки в фиксированную конечную точку за минимальное время. Эта задача является задачей оптимального управления с уравнением объекта фазовым ограничением (10.7), ограничением на управление

краевыми условиями и критерием оптимальности где — начальный момент (будем считать его фиксированным); — конечный момент — момент времени достижения ЛА точки (не фиксирован).

Задача 2 вывода ЛА в заданное положение за минимальное время. При ограничении на управление (10.8) требуется вывести ЛА из заданной точки фазового пространства в заданное положение на вертикальной плоскости за минимальное время. В данной задаче левый конец фиксирован (т. е. положение и скорость ЛА в момент заданы), а правый конец не фиксирован, т. е. в момент положение ЛА задано, а на его скорость никаких ограничений не наложено. Эта задача оптимального управления отличается от задачи 1 только условием на правом конце траектории . В задаче 1 каждое из множеств [см. (10.3)] состояло из одной точки, в данном же случае множество состоит из одной точки, а множество есть плоскость в четырехмерном фазовом пространстве.

Задача 3 перевода ЛА на максимальную дальность. В данном случае важно учитывать, что реактивная масса, или, что то же самое, начальная масса конечна. Так как

то конечность реактивной массы накладывает следующее ограничение на управление:

Ограничение такого вида называется изопериметраческим. Конечный момент определяется из условия (высота равна нулю). Задача оптимального управления формулируется следующим образом: при заданных уравнении объекта (10.5), фазовом ограничении (10.7), ограничении на управление (10.9), краевых условиях найти управление, минимизирующее функционал . В этом случае множество состоит из одной точки, а множество есть трехмерное пространство, определяемое соотношением

Задача 4 вывода на максимальную высоту. В данном случае также важно учитывать ограниченность реактивной массы. Задача оптимального управления формулируется точно так же, как и задача 3, но при краевом условии и критерии оптимальности . В этой задаче правый конец свободен: на него никаких ограничений не наложено. Множество совпадает со всем фазовым пространством

Сделаем общие замечания. Реактивная масса, естественно всегда конечна, но тем не менее это ограничение не учитывалось при формулировке задач 1 и Принималось, что для них. оно несущественно, т. е. не влияет на их решения. Точно так же принималось несущественным и не учитывалось ограничение на величину управления в задачах 3 и 4, хотя оно, естественно, всегда имеет место. Но в то же время в задачах 1 и 2 нельзя не учитывать ограничение на величину управления, так как если его отбросить, то оптимальное управление получается нереализуемым: при максимальное значение . Точно так же нельзя, не учитывать ограничение на реактивную массу (изопериметри-ческое ограничение) в задачах 3 и 4, так как в противном случае, как это ясно из физических соображений, существует бесконечное множество управлений, при которых

2. Задачи оптимального управления двигателем. Уравнение двигателя постоянного тока

где — момент инерции вращающейся части двигателя; Ф — угол поворота вала двигателя; — ток в якорной цепи; — конструктивная постоянная; Ф — магнитный поток; — момент сопротивления.

Используя обозначения

его можно записать в виде

или в векторной форме

где

Здесь для получения простой модели объекта, которая дальше часто будет использоваться, за управление принимается ток в якорной цепи. Но следует иметь в виду, что в действительности управляющим воздействием двигателя при управлении со стороны якорной цепи является напряжение на якоре и к приведенному уравнению моментов необходимо добавить уравнение для напряжения и тока якорной цепи. Поэтому примеры, связанные с моделью объекта (1.10), (1.11), являются чисто иллюстративными.

Задача 5 поворота вала двигателя на заданный угол без остановки за минимальное время. Сила тока в якорной цепи должна быть ограничена, иначе сгорят обмотки якоря. Задача оптимального управления формулируется следующим образом: при заданных уравнении объекта (1.10), (1.11), ограничении на управление

краевых условиях

найти управление, минимизирующее функционал

Задача 6 поворота вала двигателя на заданный угол с остановкой за минимальное время. Задача оптимального управления формулируется так же, как и задача 5, но при краевых условиях

Задача 7 поворота вала двигателя на заданный угол за время Т при минимальном расходе энергии. Энергия пропорциональна интегралу от квадрата управления (силы тока). Так как постоянный множитель перед функционалом не влияет на решение вариационной задачи, за критерий оптимальности принимается интеграл

где фиксированы, . Ограничение на управление не учитывается. Краевые условия совпадают: а) с условием (10.12), если двигатель после поворота на заданный угол не нужно останавливать; б) с условием (10.13), если двигатель после поворота на заданный угол нужно остановить.