Уравнения Эйлера—Лагранжа.

Рассмотрим задачу Лагранжа:

где z — вектор столбец размера — дифференцируемые по всем своим аргументам функции. Эта задача отличается от простейшей вариационной задачи тем, что на аргументы функционала помимо краевых условий наложены дополнительные ограничения [связи (10.22) и (10.23)] и они уже не являются независимыми. Для получения необходимого условия воспользуемся приемом Лагранжа [11.

Составим функцию:

где — функции времени; — константы.

Эта функция называется функцией Лагранжа, а функции и числа — множителями Лагранжа. Прием Лагранжа (в настоящее время он строго обоснован) состоит в том, что задача преобразуется в простейшую задачу вариационного исчисления:

Очевидно, последняя задача имеет смысл, если множители Лагранжа не равны одновременно нулю. Под равенством нулю множителей являющихся функциями, понимается их тождественное обращение в нуль. Кроме того, заметим, что если , то функционал не зависит от исходного функционала. Этот случай назовем особым. Важнейшим является неособый случай, когда

В преобразованной задаче роль независимого аргумента играет вектор , а роль подынтегральной функции — функция Лагранжа. С учетом того, что функция Лагранжа не зависит от производных , уравнения Эйлера принимают вид [см. (10.21)]

Уравнения (10.27), как легко проверить, совпадают с уравнениями (10.22) и (10.23), поэтому достаточно ограничиться уравнениями (10.26) и решать их совместно с уравнениями (10.22) и (10.23) при краевых условиях (10.24). Уравнения (10.26) называются также уравнениями Эйлера—Лагранжа.

Вернемся теперь к задаче оптимального управления. Приведем ее, несколько видоизменив запись уравнений объекта:

Составим функцию Лагранжа:

В ней роль аргумента z играет вектор , и так как в нее не входит производная и, то уравнения Эйлера—Лагранжа имеют вид

Уравнения Эйлера—Лагранжа записывают также, используя функцию

которая называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Очевидно,

поэтому из (10.32) получаем

Уравнения (10.34) называют условием стационарности. Это условие показывает, что на экстремали гамильтониан, рассматриваемый при каждом фиксированном как функция от управления, удовлетворяет необходимому условию экстремума. Как увидим дальше, оказывается, что действительно, на оптимальной траектории гамильтониан как функция от и достигает максимума (или точной верхней грани) при оптимальном управлении. Сформулируем основной результат.

Правило множителей Лагранжа.

Если допустимая пара является решением задачи оптимального управления (10.28)-(10.31), то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта пара удовлетворяет уравнениям Эйлера—Лагранжа (10.33) и (10.34).

В соответствии с этим правилом, чтобы найти оптимальное управление и оптимальную траекторию, надо решить совместно уравнения (10.28), (10.29), (10.33) и (10.34) при краевых

условиях (10.30). Уравнения Эйлера—Лагранжа получены при предположении, что управление является непрерывной функцией, а траектория гладкой на интервале Правило множителей Лагранжа остается справедливым и в том случае, когда принадлежит классу кусочно-непрерывных функций, классу кусочно-гладких функций. Только если оптимальное управление имеет разрыв рода в каких-либо точках (эти точки называются угловыми), то оно само и соответствующая ему траектория должны удовлетворять указанным выше уравнениям лишь в точках непрерывности управления. В угловых точках должны выполняться так называемые условия Вейерштрасса—Эрдмана [1, 7]

где индексы обозначают левый и правый пределы соответствующих функций.

Множители Лагранжа определяются с точностью до постоянного множителя. Действительно, они входят в уравнения Эйлера—Лагранжа линейно и однородно, и уравнения не изменяются, если все множители умножить на одно и то же постоянное число. Поэтому один из постоянных множителей Лагранжа, не равный нулю, можно приравнять любому отличному от нуля заданному числу. Условимся в неособом случае принимать Дальше, если особо не оговаривается, будет подразумеваться неособый случай.

Для определения неизвестных имеется столько же уравнений. Но среди них имеется дифференциальных уравнений, при решении которых появится неизвестных (постоянные интегрирования). Эти неизвестные можно найти из краевых условий (10.30), которые содержат соотношений. Таким образом, решение исходной вариационной задачи свелось к решению краевой задачи Коши.

Отметим еще раз, что уравнения Эйлера—Лагранжа являются только необходимым условием, т. е. любое решение исходной задачи является экстремалью, но не любая экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям, является решением. Но если решение задачи существует и экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям, единственна, то, очевидно, эта экстремаль и будет решением.

Пример 10.1. Рассмотрим задачу поворота вала двигателя на заданный угол при минимальном расходе энергии:

Здесь для простоты принимается . Составим гамильтониан: . Уравнения Эйлера—Лагранжа и их решения имеют вид

Подставив полученное выражение для управления в уравнения объек та и решив их, получим

Используя краевые условия, получим:

Поэтому для оптимальных управления и фазовой траектории имеем: