§ 8.4. Исследование систем с широтноимпульсной модуляцией

В § 8.1 было показано, что система с ШИМ является нелинейной системой, поэтому к ней можно применить известные методы исследования нелинейных систем. Однако при определенных условиях, как было показано в работе [1], систему с ШИМ можно рассматривать как линейную импульсную систему, применив к ней разработанные методы исследования систем с АИМ.

Исследование системы с широтно-импульсной модуляцией по линеаризованной модели.

Рассмотрим условия, при которых система с ШИМ эквивалентна системе с АИМ. Для этого, так же как это было сделано в § 8.2 составим основные уравнения системы с ШИМ (рис. 8.37).

Определим реакцию линейной части системы на один импульс длительности Здесь о — относительная переменная длительность импульса на выходе широтно-импульсного модулятора, зависящая от величины сигнала на входе модулятора, т. е. постоянная величина.

Реакция линейной части на такой импульс определяется в момент по аналогии с (8.22), соотношением

Тогда реакция линейной части системы на последовательность импульсов постоянной амплитуды, равной 1, и переменной длительности в момент на основании принципа суперпозиции будет

где

Предположим, что

Рис. 8.37.

физически условие (8.82) означает, что рассматриваются малые изменения управляющего сигнала или что фактически длительностью управляющих импульсов (по сравнению с периодом их следования) можно пренебречь.

Тогда после разложения в ряд по с учетом только первой степени реакцию можно записать в виде

Для момента

Если , то очевидно, что

Подставляя соотношение (8.84) в (8.81) и учитывая, что , получаем соотношение, связывающее входную и выходную переменные разомкнутой системы с ШИМ в дискретные моменты времени

Сопоставляя (8.85) с (8.24), приходим к выводу, что при условии (8.82) система с ШИМ эквивалентна системе с АИМ коэффициентом усиления х и реакцией линейной части

Отсюда следует, что все результаты, полученные в § 8.1 Для систем с АИМ, могут быть использованы для систем с ШИМ (если в соотношениях для систем с АИМ принять и заменить на ). Так, выражение для передаточной функции аналогичное (8.31), можно представить в виде

где для систем с ШИМ

Выражение для передаточной функции аналогичное (8.36), для систем с ШИМ записывается в виде

Таким образом, уравнение разомкнутой системы с ШИМ имеет вид

и полностью совпадает с уравнением разомкнутой системы в АИМ. Передаточная функция замкнутой системы определяется соотношением (8.34).

Для практического исследования систем с ШИМ удобно использовать частотные характеристики разомкнутой системы. Построение частотных характеристик можно выполнить, используя соотношение (8.87), положив в нем предварительно

Так как выражение для частотной характеристики разомкнутой системы с получается значительно более простым по сравнению с выражением (8.37) для систем с АИМ, то и процесс построения упрощается. На рис. 8.38 иллюстрируется порядок построения для случая, когда частотная характеристика линейной части существенно уменьшается по мере роста частоты Упрощенное выражение, аналогичное соотношению (8.38) для системы с АИМ, в этом случае может быть

Рис. 8.38

получено из (8.87), если в нем ограничиться двумя слагаемыми наименьшей частоты:

Годограф на рис. 8.38 построен по точкам, соответствующим частотам . Очевидно, что все методы исследования устойчивости и качества, разработанные в § 8.2 для систем с АИМ, могут быть применимы для линеаризованной системы с ШИМ. Весьма удобным также для решения задач анализа и синтеза систем с ШИМ будет и метод логарифмических частотных характеристик, изложенный в § 8.3 применительно к цифровым системам и системам с АИМ.