§ 7.5. Метод «припасовывания» граничных значений

Метод «припасовывания», или «сшивания», граничных условий представляет собой точный метод определения процессов в кусочно-линейных системах. Для каждого из линейных интервалов выписывают решение уравнения, в которое входят неизвестные произвольные постоянные. Приравнивая те значения координат и их производных в конце предыдущего и начале последующего интервалов, которые не совершают скачков, находят произвольные постоянные.

Проиллюстрируем метод «припасовывания» на примере нахождения параметров автоколебаний в системе с идеальным поляризованным реле с симметричной характеристикой (7 на рис. 7.6).

Пусть линейная часть системы имеет передаточную функцию полюсы которой — простые, левые. Степень полинома Р ниже степени Этим исключаются скачки

Рис. 7.32

координаты х на стыках интервалов. Допустим, что автоколебания существуют и являются простейшими, однопериодными: интервалы включения реле в каждом направлении одинаковы (рис. 7.32). На интервале искомый процесс

где — полюсы функции произвольные постоянные; Т — пока неизвестный период автоколебаний; знак минус в формуле указывает на действие отрицательной обратной связи в замкнутой системе.

На следующем интервале II можно выделить две составляющие процесса. Для этого два последующих включения реле представим как наложение двух сдвинутых на 772 ступенчатых функций (рис. 7.32): , где М — модуль выходной величины реле, известный из его характеристики. Первая слагающая вызывает продолжение процесса на интервале II.

Переменная теперь отсчитывается от начала интервала II.

Вторая ступенчатая функция вызывает реакцию, которую можно вычислить по формуле Хевисайда.

Суммарный процесс на интервале II

Но в силу симметрии характеристики реле, если однопериодные автоколебания существуют, будет равен с обратным знаком:

Из (7.25) и (7.24) получим

Поскольку равенство (7.26) должно быть справедливым для любых значений приравниваем порознь нулю свободный член и множители при тогда

Таким образом, все произвольные постоянные выражены через известные коэффициенты и полюсы передаточной функции и через неизвестный период автоколебаний Т. Для нахождения Т составим уравнение периодов, для чего используем условия переключения: на границах интервалов х проходит через нуль.

Для конца интервала

Подставив из (7.27), получим уравнение периодов в виде

или после несложных преобразований

Это трансцендентное уравнение с одним неизвестным Т. Его решение удобно выполнять графически. После нахождения Т обязательна проверка выполнения условий переключения

или в данном случае:

В случае невыполнения условий переключения делаем вывод, что автоколебания искомой формы не существуют.

В данном примере сделанное в его начале предположение о том, что степень числителя Р передаточной функции линейной части меньше степени знаменателя существенно. В самом деле, если линейная часть устойчива, то при одинаковых степенях Р и Q в момент переключения реле переменная х будет совершать скачок в том же направлении, в котором сработало реле, что приведет вследствие действия обратной связи к немедленному последующему включению реле после скачка в противоположном направлении. Таким образом, при равных степенях Р и Q условия переключения не будут соблюдены и автоколебания искомой формы не возникнут, зато при определенных условиях сможет возникнуть скользящий режим.