§ 8.5. Исследование систем с частотно-импульсной модуляцией

Системы с частотно-импульсной модуляцией, как было показано в § 8.1, являются существенно нелинейными, при этом такие системы (в отличие от систем с ШИМ) даже при малой глубине модуляции не могут быть линеаризованы. Вследствие этого к частотно-импульсным системам необходимо применять известные методы исследования нелинейных систем, учитывая, конечно, специфику частотно-импульсного модулятора (см. § 8.1, рис. 8.6, 8.7).

Отметим, что структурная схема модулятора, приведенная на рис. 8.7 и построенная по уравнению ИЧИМ (8.13), не является единственным вариантом структурного представления. Ниже будут рассмотрены и другие структурные схемы. Применение тех или иных структурных схем, с одной стороны, обусловлено схемой реального модулятора, работающего в системе автоматического управления, а с другой стороны, удобством применения того или иного метода исследования.

В настоящем параграфе будут рассмотрены в основном вопросы исследования систем управления с ИЧИМ-2, а также отдельные вопросы исследования систем с сигма-ЧИМ понятие которой будет введено ниже, и ИЧИМ-1.

Исследование систем с ИЧИМ 2-го рода методом фазовой плоскости.

Структурная схема системы управления с ИЧИМ 2-го рода приведена на рис. 8.43 (в дальнейшем будем использовать сокращенный термин Она состоит из модулятора и линейной части с передаточной функцией Модулятор (рис. 8.7) представляет собой последовательное соединение интегратора, нелинейного элемента (НЭ) квантования приращений и формирователя с передаточной функцией

Нелинейный элемент квантования приращений представляет собой кусочно-линейную характеристику (см. рис. 8.8, а), особенности которой рассмотрены в § 8.1.

Так как на фазовой плоскости, как было показано в гл. 7, удобно исследовать нелинейные системы не выше второго порядка, то линейная часть (учитывая наличие интегратора в контуре системы) должна быть не выше первого порядка. Пусть

где — коэффициент передачи и постоянная времени соответственно.

Фазовую плоскость рассмотрим в координатах , где у — сигнал на входе НЭ, а х - входной сигнал модулятора.

Рис. 8.43

Импульсная последовательность на выходе модулятора согласно (8.13) определяется соотношением

где — моменты появления импульсов; — длительность и амплитуда импульсов соответственно.

Дифференциальное уравнение, связывающее вход НЭ и вход линейной части и описывающее движение системы с линейной частью (8.108), запишем в виде

где определяется соотношением (8.109).

Так как на линейную часть, согласно (8.109), действует импульсный сигнал, принимающий значения то фазовая плоскость заполняется тремя семействами кривых, уравнения которых легко получаются из (8.110) с учетом (8.109):

Вид кривых показан на рис. 8.44. Кривые на рис. 8.44, а соответствуют сигналу z отрицательной полярности кривые на рис. 8.44, б — положительной , а прямые на рис. 8.44, в соответствуют паузе между импульсами

Для построения траектории движения по полученным фазовым траекториям необходимо определять моменты переключения

Рис. 8.44

чения с траекторий импульса (8.1116) на траектории паузы и наоборот.

Отметим, что определение точек переключения в конце каждого периода, т. е. в моменты трудностей не вызывает, поскольку моментам соответствует изменение координаты у от момента на величину (в соответствии с уравнением (8.13)).

Для определения координат точек переключения в моменты окончания импульсов, т. е. в моменты найдем приращение координаты у за время импульса Обратимся к уравнению (8.110). Его решение имеет вид

где — значения в момент Отсюда, полагая, что в качестве взят произвольный момент времени получаем

где

Таким образом, из соотношения (8.113) следует, что приращение координаты у за время импульса линейно зависит от значения в момент появления импульса. Как показано на рис. 8.45, зависимость (8.113) удобно отобразить на фазовой плоскости. По ней для значения определяется величина Проводя вертикальную прямую, отстоящую от прямой на величину находим точку пересечения ее с фазовой траекторией импульса, проходящей через точку Точка пересечения соответствует окончанию импульса, т. е. моменту .

Далее процесс построения проводится аналогичным образом. На рис. 8.46 построена траектория движения, соответствующая затухающему процессу. Здесь на участке , т.е. до момента появления первого импульса, движение происходит по траектории паузы (8.111 а). В момент появляется импульс положительной полярности так как точка, соответствующая моменту определяется по изложенному выше правилу. Движения на участке паузы происходит по траектории (8.111 а). Изменение координаты у за один период . За время паузы

Рис. 8.45

Рис. 8.46

во втором периоде, т. е. при фазовая траектория приходит к отрезку равновесия.

В случае, показанном на рис. 8.47, по окончании периода в момент возникает импульс отрицательной полярности, поскольку . Определяя последовательно координаты точек в моменты несложно показать, что в этом случае образуется замкнутый цикл соответствующий в реальной системе режиму периодических колебаний, представляющих собой чередование разнополярных импульсов (рис. 8.48); число импульсов за период колебания N = 2.

Рис. 8.47

Рис. 8.48

Рис. 8.49

Соотношение параметров системы с ИЧИМ, при котором возможны периодические колебания (оно приводится без доказательства), имеет вид

Пользуясь соотношением (8.114), можно выбрать параметры модулятора или коэффициент передачи объекта управления, чтобы устранить периодические колебания в рассматриваемой системе с ИЧИМ.