Метод Кротова [11]

В начале 60-х годов В. Ф. Кротов разработал новый метод решения вариационых задач, который основан на достаточном условии оптимальности, названном впоследствии принципом оптимальности Кротова [7]. Но прежде чем познакомиться с этим принципом, рассмотрим более общую постановку задачи оптимального управления.

Решение задачи оптимального управления в классе кусочно-непрерывных управлений и кусочно-гладких траекторий не всегда существует. Целесообразно обобщить ее так, чтобы расширить класс задач оптимального управления, обладающих решением.

Пусть объект, ограничения и краевые условия задаются следующим образом:

Здесь при каждом фиксированном является некоторым множеством пространства . Обозначим через множество пар кусочно-непрерывных функций и кусочно-гладких (непрерывных и кусочно-дифференцируемых) функций определенных на и удовлетворяющих уравнению на этом интервале, за исключением конечного числа точек, ограничению на всем интервале и краевым условиям (10.70). Множество называют допустимым

множеством, а его элементы — допустимыми парами, а множестве задан функционал

Требуется найти последовательность допустимых пар на которой функционал (10.71) стремится к своему наименьшему значению на множестве

Такая последовательность называется минимизирующей. Последовательность допустимых пар будем также называть допустимой последовательностью.

Основным обобщающим моментом в новой постановке является то, что в качестве решения задачи оптимального управления принимается минимизирующая последовательность, а не определенная допустимая пара. В частном случае, когда существует допустимая пара доставляющая минимум функционалу (10.71), все члены минимизирующей последовательности равны этой паре: .

Пример 10.12. Рассмотрим несколько видоизмененный пример Больца 11]:

Наименьшее значение (точная нижняя грань) функционала равно нулю и достигается на последовательности

Действительно, при любом равномерно стремится к нулю при Кроме того, эта последовательность принадлежит допустимому множеству: при каждом фиксированном Функция является кусочно-непрерывной, — кусочногладкой и пара удовлетворяет заданным условиям (уравнению, ограничению и краевым условиям). В обычном смысле задача решения не имеет: нет допустимой пары, при которой функционал принимает нулевое значение.