§ 7.6. Приближенное исследование автоколебаний. Метод эквивалентной линеаризации

Во многих динамических нелинейных системах периодические движения на выходе инерционной линейной части, возникли ли они в результате воздействия периодической, но не синусоидальной, внешней силы или же возбудились как автоколебания, оказываются близкими к синусоидальным. Это дает основание считать, что система обладает свойством низкочастотного фильтра, пропускающего без ослабления основную и существенно ослабляющего высшие гармонические. «Гипотеза

фильтра», принимаемая по отношению к нелинейным системам с близкими к синусоидальным периодическими режимами лежит в основе приближенных методов. По отношению к близким к синусоидальным автоколебательным режимам принимается другая гипотеза наряду с гипотезой фильтра — гипотеза «авторезонанса», или «порождающей системы». В самом деле, если нет вынуждающей периодической внешней силы, но автоколебания возникают, причем по форме они близки к колебаниям в линейных системах, то естественно предположить, что по отношению к периодическому режиму, наблюдаемому в нелинейной системе, последняя близка к линейной, в которой могут возбуждаться незатухающие колебания. Такую близкую линейную систему называют порождающей. Если порождающая система существует, то нелинейное дифференциальное уравнение может быть разложено на сумму линейного с чисто мнимыми корнями и нелинейного уравнения, которое обычно представляют как нелинейную функцию координаты и ее производных, умноженную на «малый параметр». При обращении малого параметра в нуль уравнение вырождается в порождающее линейное.

Для приближенного анализа периодических режимов Пуанкаре, Ван-дер-Полем и другими были разработаны методы малого параметра, строго обоснованные для нелинейностей, выражаемых аналитическими функциями. Но в теории управления в большинстве случаев приходится иметь дело с неаналитическими, разрывными и неоднозначными нелинейностями. Для таких систем получили распространение два типа приближенных методов: эквивалентной линеаризации и гармонического баланса. Для безынерционных нелинейных элементов обе этй группы методов по существу идентичны и дают совпадающие результаты.

Метод эквивалентной линеаризации в применении к однозначным безынерционным нелинейностям состоит в следующем. Пусть передаточная функция линейной части замкнутой системы (рис. 7.1)

Если трактовать как символ дифференцирования то дифференциальное уравнение замкнутой нелинейной системы

Пусть однозначная функция. Заменим ее суммой линейной функции и «малого» нелинейного слагаемого;

Выберем с так, чтобы уравнение

получающееся при было порождающим, т. е. имело бы чисто мнимые корни Такую линеаризацию и называют эквивалентной (она не обязательно совпадает с линеаризацией посредством отбрасывания нелинейной части ряда Тейлора: может отличаться от линейного члена ряда, а может содержать и линейный член). Эквивалентную линеаризацию удавалось иногда успешно применять и в таких случаях, когда не являлась малой или когда функция не была аналитической и не разлагалась в ряд Тейлора.

В очень многих практических задачах при этом получалось удовлетворительное приближение к истинному решению, но строгого обоснования метода для таких задач в общем случае найти еще не удалось.

Периодическое решение уравнения (7.31) приближенно представляют так:

Выбор начала отсчета времени, при котором в решении строят только синусную составляющую, не снижает общности, если система стационарна. Амплитуда А пока не известна и не может быть найдена из линейного уравнения. Получим ее из нелинейного уравнения, воспользовавшись на этот раз гипотезой фильтра.

В соответствии с этой гипотезой высшими гармониками на выходе линейной части можно пренебречь и считать выход равным . Тогда на вход нелинейного элемента поступает синусоидальный сигнал , а выходная его величина будет

Коэффициенты о при основной гармонике и находят по формулам Фурье, так как (7.33) есть часть ряда Фурье:

где

При симметричных нелинейных характеристиках, проходящих через начало координат, величина равна нулю. Ограничимся в основном рассмотрением только таких характеристик, Далее, так как однозначна, то совпадает по фазе с , в соответствии с (7.32) не содержит, косинусных составляющих, т. е.

Так как высшие гармоники, пройдя через линейную часть, в соответствии с гипотезой фильтра практически исчезнут и на вход нелинейного элемента не пройдут, то при нахождении х мы их можем не принимать во внимание и подставить в уравнение (7.29) только . При этом

Таким образом, коэффициент с эквивалентной линеаризации равен Так как — функция амплитуды А, характеристика в результате линеаризации заместилась пучком прямых, проходящих через начало координат и имеющих наклоны, различные для разных А. Из пучка надлежит выбрать ту прямую, при которой уравнение (7.31) становится порождающим с частотой решения, равной частоте автоколебаний. Подставляя в получим

откуда

Рис. 7.33

— это обратная амплитуднофазовая характеристика линейной части. Так как в рассматриваемом случае — действительное число, то частота определяется точкой пересечения характеристики — с действительной осью. Приравняв длине отрезка от начала координат до пересечения с действительной осью, получим уравнение, из которого можно найти А. Но в общем случае эту задачу удобнее решать графоаналитически. Один из методов графоаналитического решения рассмотрен в следующем параграфе.

Если характеристика неоднозначна, то b отличен от нуля, в выражении (7.33) присутствует косинусная составляющая и выразить как линейную функцию х с действительным коэффициентом нельзя. Заменив в (7.33) х и у относительными переменными после несложных преобразований получим

Это уравнение эллипса, пересекающего ось в точках , а ось в точках . С помощью этого эллипса можно определить значения g и b из опыта. Например, сняв на осциллографе в осях гистерезисную петлю при воздействии на вход синусоидального напряжения, заменим ее приближенно эллипсом, проходящим через точки пересечения петли с осями координат (рис. 7.33). Из приведенных выше соотношений найдем

Поскольку линеаризация посредством функции в данном случае невозможна, то порождающего решения в указанном выше смысле не существует.

Но для установившегося периодического движения эквивалентную линеаризацию дифференциального уравнения все же можно формально выполнить, если аппроксимировать линейной функцией не только х, но и его производной по времени.

Так, в литературе получил широкое распространение следующий способ линеаризации. Представим у в виде

Тогда (7 29) с учетом, что можно привести к виду

Поскольку (7.32) удовлетворяет этому уравнению, то характеристическое уравнение последнего имеет пару чисто мнимых корней и уравнение (7.37) можно в этом смысле назвать порождающим. Но таких «порождающих» уравнений можно написать бесчисленное множество, поскольку «линеаризующих» уравнений нелинейного элемента

которым удовлетворяли бы соотношения (7.32) и (7 33) также существует бесконечно много. Для этого достаточно выбирать коэффициенты полиномов так, чтобы соблюдались равенства

где

Так, например, пусть нелинейный элемент замещается звеном второго порядка с передаточной функцией

Для данной функции Подставляя последние выражения в (7.39), получим

Для нахождения четырех неизвестных имея два уравнения, двумя параметрами задаемся произвольно, а из уравнений находим два остальные

Подстановка (7.38) в (7.29) дает «порождающее» уравнение

Среди этих уравнений могут быть уравнения, имеющие устойчивые и неустойчивые решения с различными переходными процессами. Любое из них пригодно для нахождения автоколебаний, но, если не дано специального обоснования для каждого конкретного случая, в общем не позволяет исследовать устойчивость и неустановившиеся режимы. Поэтому эквивалентная линеаризация по рассмотренному выше способу для нелинейных элементов с неоднозначными характеристиками может быть использована только для нахождения параметров первых гармоник автоколебаний, исследования же переходных процессов, иногда рекомендуемые в литературе, с помощью описания нелинейного элемента уравнением (7.37) в общем случае необоснованны.