§ 7.10. Абсолютная устойчивость

Рассмотрим свободное движение в системе, состоящей из линейной части с передаточной функцией и нелинейной отрицательной обратной связи с характеристикой (рис. 7.39). Уравнения для этой схемы можно записать в виде

Уравнения для линейной части записаны для изображений Лапласа переменных . Условие наложенное на функцию , означает, что в точке система имеет состояние равновесия: пара является тривиальным решением дифференциальных уравнений (7.52). Мы будем исследовать условия устойчивости этого состояния равновесия, т. е. устойчивость тривиального решения.

Рис. 7.39

Уравнения (7.52) можно записать также в переменных состояния:

где х — n-мерный вектор состояния; — постоянная -матрица; с — постоянный -вектор; b — постоянный -вектор. Между передаточной функцией и коэффициентами уравнений (7.53) существует зависимость

где Е — единичная матрица. Передаточная функция для уравнения (7.53) в общем случае равна отношению полиномов:

где степень полинома равна числу переменных состояния Равенство степени полинома числу переменных состояния существенно — это означает, что передаточная функция невырождена, т. е. не имеют одинаковых множителей вида При этом условии система (7.53) полностью управляема и эквивалентна системе (7.52). Степень полинома вообще равна но при некоторых значениях коэффициентов матрицы А может быть и меньше, вплоть до нуля. Если уравнения состояния имеют вид

где — отличное от нуля постоянное число, то степень равна степени

Важной особенностью общей теории устойчивости нелинейных систем указанного вида является то, что рассматриваются не конкретные виды функций (т. е. не параболы, экспоненты и т. п.), а классы функций, удовлетворяющих тем или иным ограничениям. Если положение равновесия системы (7.53) или (7.55) асимптотически устойчиво в целом при любой нелинейной функции из заданного класса, то она называется абсолютно устойчивой в этом классе. Мы будем рассматривать класс функций удовлетворяющих секторным ограничениям. Их характеристики , построенные в

плоскости укладываются в угловом секторе, образованном двумя прямыми:

где .

Про такие нелинейности говорят, что они относятся к классу или что они принадлежат сектору Нелинейности из класса определяются следующим условием:

Это условие равносильно неравенству

Левая часть является квадратичной формой вещественных переменных и о. Очевидно, условие (7.56) является частным случаем более общего условия

где — произвольная квадратичная форма вещественных переменных . Если характеристика или пара удовлетворяет неравенству (7.57), то говорят, что она удовлетворяет локальной связи с формой Наряду с классом нелинейности, определяемым локальной связью, рассматривают класс нелинейных характеристик, который задается интегральной связью.

Будем говорить, что характеристика удовлетворяет интегральной связи с формой , если существуют последовательность и число такие, что выполняется неравенство

т. e. мы требуем, чтобы при возрастании интеграл не стремился к отрицательной бесконечности [11].

При выполнении локальной связи удовлетворяется и интегральная связь с той же формой. Обратное утверждение не имеет силы. Существуют функции, удовлетворяющие интегральной связи, но не удовлетворяющие локальной связи с той же формой.

Наконец, отметим, что при определении классов нелинейностей ограничения могут накладываться не только на ,

но также и на производную Поэтому, когда такие ограничения накладываются, будут рассматриваться связи с квадратичной формой .

Отметим некоторые подклассы .

Подкласс удовлетворяет условиям

Подкласс — любая , расположенная только в первом и третьем квадрантах плоскости

Для практических целей наиболее удобной формой определения устойчивости нелинейных систем являются частотные критерии, в которых используется запись уравнений в виде (7.52) и частотная характеристика линейной части Для формулировки частотных критериев потребуется предварительное преобразование квадратичных форм, входящих в локальные и интегральные связи. При этом используются понятия эрмитовой формы и эрмитова расширения.

Напомним, что эрмитовой формой от действительных или комплексных переменных называется многочлен

где А — эрмитова матрица, т. е. матрица, в которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, являются комплексно-сопряженными числами Здесь звездочка обозначает комплексное сопряжение, Т — транспонирование Эрмитова форма принимает только действительные значения: Эрмитова форма комплексных переменных называется эрмитовым расширением квадратичной формы от действительных переменных если при эти формы равны .

В частном случае, когда квадратичная форма представлена в виде произведения двух линейных форм как легко проверить, ее эрмитовым расширением будет форма

Пусть рассматривается локальная или интегральная связь с формой При формулировке частотного критерия используется следующее преобразование. Находится эрмитово расширение формы Знак над переменной означает, что она принимает комплексные значения.

Переменные можно рассматривать как изображения Лапласа для переменных , а. При использовании уравнения (см. (7.52)), переменные с и а исключаются, а затем в передаточной функции производится подстановка . В результате получается частотная функция

В частном случае, когда представлена в виде произведения двух линейных форм , о), в силу (7.61) имеем

где

Найдем частотные функции для нелинейностей подклассов . Для подкласса из (7.56) и (7.62) получаем или, так как

Для подкласса положив в имеем

Для подкласса из (7.60) получим

Введем понятие минимальной устойчивости.

Если равновесие системы (7.53) будет устойчивым хотя бы для какой-либо характеристики из данного класса, то равновесие называется минимально устойчивым в данном

классе. При использовании частотных критериев обычно начинают с проверки минимальной устойчивости. Это проще всего сделать для линейных систем, получающихся из системы (7.52) путем замены нелинейной характеристики линейной принадлежащей тому же классу. Для нелинейностей из класса выбирается из условия Система (7.53) минимально устойчива, если характеристический полином замкнутой линейной системы

удовлетворяет условию Гурвнца или если матрица имеет все собственные значения, расположенные слева от мнимой оси.