Критерий В. М. Попова.

Нелинейные характеристики из класса , как стационарные, так и нестационарные, как было показано, удовлетворяют локальной связи (7.59)

Стационарные характеристики из того же класса удовлетворяют еще интегральной квадратичной связи по переменным .

Обозначим

Так как то . Поэтому, полагая

для имеем

Таким образом, стационарная характеристика из класса удовлетворяет локальной связи с формой и интегральной связи с формой

Составим форму:

где — некоторое вещественное положительное число. Форма (7.79) удовлетворяет интегральной связи вида (7.58).

Найдем расширение формы до эрмитовой. Расширение формы даио соотношением (7.69). Расширение формы

Тогда получаем

Частотное условие (7.72) принимает вид

Подставив и разделив на К, получим

где Минимальная устойчивость имеет место, если линейная часть устойчива, т. е. если матрица А имеет все собственные значения в левой полуплоскости. Действительно, характеристика относится к классу , а при этой характеристике получаем линейную часть, которая, по условию, устойчива.

Теперь сформулируем критерий В. М. Попова.

Пусть матрица А гурвицева (т. е. все полюсы передаточной функции расположены в левой полуплоскости), пара управляема (т. е. функция невырождена) и система (7.73) минимально устойчива. Тогда для абсолютной устойчивости равновесия для нелинейностей класса достаточно, чтобы существовало такое число для которого выполняется условие Попова (7.81) или (7.80).

Аналитическая проверка условия (7.81) для всех со весьма сложна и выполнима практически в редких частных случаях, поэтому для проверки используют либо графоаналитический метод, либо вычислительный алгоритм, реализуемый на ЭВМ.

«Ручным» способом обычно является графоаналитический. Для его использования дадим геометрическую интерпретацию критерия (7.81).

Построим преобразованную частотную характеристику

у которой вещественная часть такая же, как у частотной характеристики , а мнимая равна . Очевидно, что характеристика пересекает вещественную ось в тех же точках, что и характеристика Подставив в неравенство (7.81), получим

Заменив (7.82) знак неравенства знаком равенства, получим Уравнение прямой В. М. Попова. Она проходит через точку — на вещественной оси под углом Неравенство (7.82) выполняется, если преобразованная характеристика располагается справа от прямой Попова. Таким образом, геометрическую трактовку критерия Попова можно

Рис. 7.41

изложить так: система с устойчивой и вполне управляемой линейной частью абсолютно устойчива в классе стационарных нелинейных характеристик , лежащих в секторе , если через точку на вещественной оси комплексной плоскости можно провести прямую так, чтобы преобразованная частотная характеристика лежала справа от этой прямой.

На рис. 7.41 изображены случаи, когда условие Попова выполняется при положительных (рис. 7.1, а), при отрицательных (рис. 7.41, б), и случай, когда условие Попова не может быть выполнено ни при каких (рис. 7.41, в).