Квадратичный критерий абсолютной устойчивости.

Пусть функция Ляпунова для системы (7.53) ищется в виде квадратичной формы

где Н — искомая положительно-определенная постоянная симметричная матрица, которая ищется из условия, чтобы в соответствии с условием устойчивости по Ляпунову полная производная по времени была отрицательной в силу уравнений (7.53). Продифференцировав по времени и подставив значения из (7.53), получим

для всех и для всех х. (При получении (7.67) использовано), что так как это скаляры.)

Однако найти Н только из одного неравенства (7.67) невозможно по той причине, что в нем не учтена связь между переменными и эти переменные рассматриваются, таким образом, как независимые. Если считать независимым от х, то. при любом, заданном х всегда можно выбрать столь большое положительное что в (7.67) станет положительным и, следовательно, положительно-определенной матрицы Н, при которой неравенство (7.67) удовлетворяется для всех х и всех х, не существует. Для того чтобы решить поставленную задачу, надо учесть связь добавив ее к неравенству (7.67). Наиболее удобно добавить эту связь в виде условия

где — квадратичная форма (локальная квадратичная связь. Тогда Н выбирается из условия, чтобы выполнялись одновременно неравенства (7.67) и (7.68). Эти два неравенства можно заменить одним эквивалентным:

где — произвольная положительная постоянная.

Переход от двух неравенств (7.67) и (7.68) к одному неравенству (7.69) называют S-процедурой, так как первоначально форма обозначалась через Доказательство эквивалентности этих неравенств — «неущербности S-процедуры» сложно. Столь же сложно обоснование перехода от неравенства (7.69) к неравенству (7.70), связывающему эрмитовы формы, — оно основывается на теореме Крейна—Шмульяна. Эти доказательства, так же как и полное доказательство частотной теоремы Якубовича — Калмана, о которой говорится дальше, не приводятся. Более подробно об этом см. в [11].

Перейдем к комплексным переменным, при этом неравенство (7.69) заменяется аналогичным неравенством для эрмитовых форм, полученных из данных описанным выше способом, т. неравенством

В. А. Якубовичем и независимо Р. Калманом в 1962 г. была доказана «частотная теорема» (называемая также леммой Калмана — Якубовича), на которой, по существу, основывается современная теория абсолютной устойчивости. Применительно к рассматриваемому случаю содержание этой теоремы можно изложить так: для того чтобы неравенство (7.70) выполнялось для всех , т. е. для того чтобы существовала функция Ляпунова вида (7.66), необходимо и достаточно, чтобы для всех со выполнялось частотное условие

или в другой записи

Показать, что условие (7.71) необходимо, несложно. Так как неравенство (7.70) должно выполняться для всех х, то оно должно выполняться и для значений связанных соотношением

Но тогда . Так как есть вещественная эрмитова форма, то чисто мнимое число и неравенство (7.70) выполняется только если выполняется (7.71). Необходимость условия (7.71) Г оказана. Доказательства достаточности из-за его громоздкости не приводим.

Перейдем к формулировке квадратичного частотного критерия.

Пусть дана система (7.53), у которой матрица А не имеет собственных значений на мнимой оси, пара управляема, а система (7.53) минимально устойчива в классе функций , удовлетворяющей локальной или интегральной квадратичной связи с формой

Тогда для абсолютной устойчивости системы в классе данных функций достаточно, чтобы форма была отрицательной для всех т. е. чтобы выполнялось неравенство (7.72) для всех — и любого

При этом в случае выполнения локальной квадратичной связи абсолютная устойчивость будет также экспоненциальной, т. е. можно найти такие две положительные постоянные зависящие лишь от коэффициентов уравнений и формы что при любых решение уравнений (7.53) будет удовлетворять неравенству

Из этого достаточно общего критерия для различных конкретных видов формы получаются различные более конкретные частные критерии. Рассмотрим некоторые из них.