Система с сухим кулоновским трением.

Пусть теперь в рассмотренной системе действует постоянная по значению сила трения направленная навстречу движению. Для удобства выразим эту силу в виде произведения на некоторое положительное число т. е.

Когда система движется, динамическая сила, создающая ускорение х, и сила пружины уравновешиваются силой трения:

Это имеет место, когда или . Тогда избыток силы расходуется на создание ускорения. Если же усилие, развиваемое пружиной, меньше силы трения, то система не сможет сдвинуться с места:

Таким образом, движение на разных стадиях описывается различными дифференциальными уравнениями:

Уравнение с верхней правой частью определяет фазовую траекторию в верхней полуплоскости, с нижней правой частью — в нижней полуплоскости, средняя правая часть соответствует отрезку покоя на действительной оси — . Этот отрезок является геометрическим местом бесчисленного множества возможных точек равновесия.

В верхней полуплоскости движение определяется уравнением

Сопоставляя с (7.3), видим, что это эллипс, центр которого смещен в точку на оси х. Соответственно в нижней полуплоскости

имеем семейство эллипсов с центром в точке на оси х (рис. 7.9, а).

Смещение эллипсов приводит к тому, что изображающая точка, пересекая ось х, переходит на эллипс меньшего размера и в конце концов приходит на отрезок покоя. Так как к любой точке отрезка покоя фазовые траектории подходят сверху и снизу, изображающая точка, попав на отрезок покоя, остается на нем; следовательно, отрезок покоя устойчив.

Ось абсцисс точками — делится на три части: внутреннюю — отрезок покоя и две внешних на которых при переходе из одной полуплоскости в другую происходит изменение уравнения движения. Таким образом, ось абсцисс за пределами отрезка покоя является линией перехода с одного закона движения на другой. Такие линии называют линиями переключения.

Уравнения движения, получаемые в результате решения дифференциальных уравнений (7.9), при начальных условиях имеют вид:

1-й полуэллипс в нижней полуплоскости

1-й полуэллипс в верхней полуплоскости

2-й полуэллипс в нижней полуплоскости

Амплитуды последовательных колебаний убывают по линейному закону (рис. 7.9, б), что качественно отличает характер затухания колебаний в нелинейной системе с сухим трением от экспоненциального затухания в линейной системе. Время затухания в линейной системе бесконечно, в рассматриваемой нелинейной - конечно.

В коротких и жестких пружинах возникает сила внутреннего трения от смещения сечений во время изгиба пружины. Внутренние напряжения перпендикулярны смещающимся сечениям и пропорциональны деформациям. Сделав допущение, что силы внутреннего трения, подобно силам сухого кулоновского

Рис. 7.9

Рис. 7.10

Рис. 7.11

трения, пропорциональны нормальным давлениям, а по направлению — противоположны скоростям движения, получаем следующую систему уравнений:

В первом и третьем квадрантах фазовой плоскости знаки совпадают и фазовыми траекториями будут отрезки концентрических эллипсов с отношением вертикальной полуоси к горизонтальной, равным Во втором и четвертом квадрантах это отношение равно Фазовые траектории скручиваются к началу координат (рис. 7.10), Для малых движение будет близким к движению линейной системы по уравнению

где — эквивалентное демпфирование; частота колебаний.