Задачи с подвижными концами и фиксированным временем

Если концы подвижны, то в классическом случае задача оптимального управления отличается от задачи тем, что изменяются краевые условия и критерий оптимальности может иметь любой из указанных при классификации видов, т. е. в этом случае задача оптимального управления может быть задачей Лагранжа, Больца и Майера. Когда концы закреплены и время фиксировано, задача оптимального управления может быть только задачей Лагранжа.

Получим необходимые условия. Начнем с простейшей вариационной задачи с подвижными концами и фиксированным временем функции непрерывны и дифференцируемы по всем своим аргументам. Порядок вывода необходимых условий такой же, как и в случае задачи с фиксированными концами. Некоторые

особенности появляются из-за того, что в силу подвижности граничных точек их также нужно варьировать. Опять все выкладки будем выполнять, предполагая, что принадлежит к классу гладких функций:

Пусть экстремум достигается в точке При произвольной фиксированной точке функционал

является функцией от числового аргумента е. Эта функция достигает экстремума при -Поэтому по теореме Ферма

Интегрируя по частям второе слагаемое под интегралом получим

Функция должна доставлять экстремум функционалу при фиксированных граничных точках поэтому она должна удовлетворять уравнению Эйлера

С учетом этого уравнения имеем

В силу произвольности и независимости из последнего равенства получаем соотношения

которые называются условиями трансверсальности. Если — вектор, то условия трансверсальности в скалярной форме принимают вид

Уравнения Эйлера в скалярной форме были уже приведены [см. (10.21)]. Итак, решение вариационной задачи с подвижными концами кроме уравнений Эйлера должно удовлетворять условиям трансверсальности.

Получим необходимые условия оптимальности для задачи оптимального управления:

Граничные условия (10.38) предполагаются независимыми, функции — непрерывными и дифференцируемыми по всем своим аргументам. На остальные функции накладываются такие же требования, как и в случае задачи с фиксированными концами. Используя прием Лагранжа, преобразуем эту задачу в простейшую задачу Больца:

где

Уравнения Эйлера—Лагранжа для этой задачи совпадают с уравнением (10.32) или (10.33) и (10,34).

С учетом равенств условия трансверсальности принимают вид

Отдельные координаты граничных точек могут быть фиксированы. Соотношения, определяющие эти координаты, в выражение для не включаются, и так как при определении необходимых условий они не варьируются, то в условия трансверсальности не должны входить соотношения, содержащие частные производные по этим координатам; их из (10.40) нужно исключить. В частности, если начальная точка фиксирована, т. е. фиксированы все координаты точки то условия трансверсальности (10.40) принимают вид

Если часть координат точки также фиксирована, то в последнем условии пробегает только значения индексов нефиксированных координат.

Правило множителей Лагранжа для задачи с подвижными концами и фиксированным временем.

Если допустимая пара является решением задачи (10.36)-(10.39), то существуют такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта пара удовлетворяет уравнениям Эйлера—Лагранжа (10.33), (10.34) и условиям трансверсальности (10.40).

Если управление терпит разрыв, то решение должно удовлетворять уравнениям Эйлера—Лагранжа в точка непрерывности управления. В угловых точках (в точках разрыва управления) должно выполняться условие Вейерштрасса—Эрдмана (10.35).

Таким образом, чтобы получить решение задачи (10.36)- (10.39), нужно решить уравнения (10.36) и (10.37) совместно с уравнениями Эйлера—Лагранжа при краевых условиях (10.38) и условиях трансверсальности (10.40). Этих соотношений достаточно, чтобы определить все неизвестные величины.

Пример 10.2. Рассмотрим задачу

Эта задача отличается от задачи, рассмотренной в примере 10.1, только тем, что правый конец не закреплен: координата не фиксирована. Поэтому уравнения Эйлера—Лаграижа и их решения получаются такими же, что и в примере 10.1:

Функция и условия трансверсальности принимают вид

С учетом этого условия имеем Подставив полученное выражение для управления в уравнения объекта и решив их при заданных краевых условиях, получим: