Оптимальный фильтр Калмана—Бьюси.

Нахождение оптимального фильтра Винера основывалось на использовании интегрального уравнения Винера — Хопфа, при решении которого стационарные случайные процессы рассматривались в частотной области. В 1960 г. Р. Калман и Р. Бьюси рассмотрели проблему линейной фильтрации во временной области и, используя концепцию «пространства состояний», предложили новый эффективный метод синтеза оптимальных систем по критерию минимума математического ожидания квадрата случайной ошибки, применимый как для стационарных, так и для нестационарных марковских случайных процессов. Так как в основе используемой Калманом и Бьюси концепции «пространства состояний» лежит предположение о том, что случайный процесс является марковским, то их подход к синтезу оптимальных линейных систем иногда называют марковской теорией оптимальной линейной фильтрации.

Описывая все случайные процессы не с помощью корреляционных функций или спектральных плотностей, а с помощью дифференциальных уравнений или уравнений состояния, Калман и Бьюси показали, что при случайных воздействиях оптимальная линейная система (оптимальный фильтр Калмана — Бьюси) должна удовлетворять некоторой системе неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Нахождение оптимальной системы по этим дифференциальным уравнениям намного легче, чем по интегральным уравнениям Винера — Хопфа, особенно в случае нестационарных случайных процессов.

Вывод уравнений оптимального фильтра был выполнен Калманом и Бьюси для многомерных случайных процессов. Познакомимся с основной идеей метода Калмана — Бьюси на примере более простых, но часто встречающихся на практике одномерных фильтров.

Допустим, что синтезируемая система должна воспроизводить некоторый сигнал представляющий собой в общем случае нестационарный случайный процесс. Пусть на входе системы кроме этого сигнала действует также помеха

представляющая собой в общем случае нестационарный случайный процесс типа «белый шум» с нулевым средним значением. Таким образом, суммарный входной сигнал

Для вывода уравнения одномерного оптимального фильтра Калмана — Бьюси существенным является то, что случайный процесс должен быть сначала представлен дифференциальным уравнением первого порядка следующего вида:

где — некоторая функция времени, зависящая от статистических характеристик случайного процесса — нестационарный случайный процесс типа «белый шум» с нулевым средним значением.

Корреляционные функции нестационарных случайных процессов имеют вид

где — непрерывные, непрерывно дифференцируемые функции времени, причем

В частном случае для стационарных случайных процессов их корреляционные функции

где

Если случайный процесс на выходе системы равен , то случайная ошибка системы равная разности между воспроизводимым сигналом и выходным сигналом имеет вид

Калман и Бьюси показали, что оптимальная система (оптимальный фильтр Калмана—Бьюси), обеспечивающая в любой момент времени воспроизведение сигнала при минимуме математического ожидания квадрата случайной ошибки, должна описываться неоднородным дифференциальным уравнением вида

Таким образом, при синтезе оптимального фильтра Калмана — Быоси задача сводится к нахождению таких функций времени в дифференциальном уравнении (9.140), при которых обеспечивался бы минимум математического ожидания квадрата случайной ошибки, т. е.

Предполагая, что случайный процесс представлен в виде (9.135), приведем без доказательства формулы для нахождения функций при которых обеспечивается минимум (9.141).

Прежде чем определить функции находят некоторую функцию времени равную математическому ожиданию квадрата случайной ошибки (дисперсии ошибки):

она определяется как решение следующего дифференциального уравнения Риккати:

Для решения (9.143) нужно знать начальное значение при Обычно поэтому

После нахождения функции определяют функцию по формуле

и функцию по формуле

Наиболее сложным этапом синтеза оптимальных фильтров методом Калмана — Бьюси является решение уравнения Риккати (9.143). В общем случае оно требует применения ЭВМ.

Важное самостоятельное значение имеют также вопросы исследования существования решения уравнения (9.143), его единственности и устойчивости.

Учитывая (9.146), уравнение оптимального фильтра Калмана—Бьюси иногда записывают в следующем виде:

Дифференциальному уравнению (9.140) соответствует структурная схема оптимального фильтра, показанная на рис. 9.19, а; дифференциальному уравнению (9.147) соответствует структурная схема, показанная на рис. 9.19, б. Таким образом, оптимальный фильтр Калмана—Бьюси можно рассматривать как некоторую динамическую систему с обратной связью, имеющую структурную схему, приведенную либо на рис. 9.19, а, либо на рис. 9.19, б. Естественно, что обе эти структурные схемы эквивалентны.

Для нестационарных случайных процессов функции зависят от времени и оптимальный фильтр Калмана—Бьюси получается нестационарным.

Для стационарных случайных процессов функции а также в установившемся режиме функции не зависят от времени, поэтому оптимальный фильтр Калмана—Бьюси в этом случае является стационарным, определяемым дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

Система описываемая (9.148), будет в установившемся режиме воспроизводить на своем выходе стационарный случайный сигнал с минимальной средней квадратической ошибкой.

Рис. 9.19

Рис. 9.20

Естественно, что для стационарных процессов результаты, полученные методом Калмана—Бьюси и методом Винера, совпадают. Уравнение (9.148), полученное во временной области, эквивалентно оптимальному фильтру Винера, определяемому в частотной области уравнением (9.125).

Остановимся кратко на очень существенном для фильтров Калмана—Бьюси вопросе о возможности представления случайного процесса в виде дифференциального уравнения (9,135).

Нахождение (9.135) связано с задачей определения формирующего фильтра (стационарного или нестационарного), который при воздействии на его вход белого шума позволяет получить на своем выходе заданный случайный процесс Структурную схему такого формирующего фильтра в соответствии с (9.135) можно представить так, как показано на рис. 9.20.

Для стационарных случайных процессов методы определения параметров формирующих фильтров разработаны хорошо. В этих случаях формирующий фильтр можно описать обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами или соответствующей передаточной функцией формирующего фильтра . Особенно просто находится передаточная функция формирующего фильтра в том случае, когда выражение для спектральной плотности стационарного случайного процесса имеет вид дробно-рациональной функции частоты, т. е. когда выражение для спектральной плотности может быть представлено в виде произведения двух комплексно-сопряженных множителей:

Пусть на входе формирующего фильтра действует стационарный случайный сигнал типа «белый шум», имеющий спектральную плотность тогда спектральная плотность сигнала на выходе формирующего фильтра

Учитывая (9.149), можно записать

откуда частотная передаточная функция формирующего фильтра

Подставляя в последнее выражение получаем выражение для передаточной функции формирующего фильтра

Зная передаточную функцию формирующего фильтра, находим дифференциальное уравнение вида (9.135), связывающее случайные процессы

Если спектральная плотность не является дробнорациональной функцией частоты или получена экспериментально, то для нахождения формирующего фильтра ее нужно сначала аппроксимировать дробно-рациональной функцией частоты.

В заключение следует отметить, что если входные воздействия являются стационарными случайными процессами, то метод Калмана—Бьюси не имеет преимуществ перед методом синтеза оптимальных фильтров Винера. Этот метод в основном применяют для синтеза оптимальных нестационарных линейных фильтров.

Он позволяет также достаточно просто находить структуру и параметры оптимального фильтра и в том случае, когда воспроизводимый сигнал описывается полиномом со случайными коэффициентами:

где — случайные величины с известными статистическими характеристиками.

Синтез оптимальных линейных фильтров Калмана—Бьюси, проведенный первоначально для помехи в виде белого шума, был в дальнейшем развит на более общие случаи, например на случай коррелированных помех, имеющих неравномерную спектральную плотность, на случай нелинейной фильтрации и др. Заметим, наконец, что оптимальные фильтры Калмана—Бьюси, как и оптимальные фильтры Винера, позволяют решать не только задачу оптимального воспроизведения

сигнала на фоне помех (фильтрации), но и задачи статистического упреждения, статистического дифференцирования и т. д.

Пример 9.8. На входе линейной следящей системы действует стационарный случайный процесс спектральная плотность которого

и случайная помеха типа «белый шум», имеющая спектральную плотность

Числовые значения коэффициентов

Определить методом Калмана—Бьюси оптимальную передаточную функцию системы, обеспечивающую минимум средней квадратической ошибки.

1. Так как система предназначена для воспроизведения полезного сигнала то преобразующий оператор воспроизводимый сигнал , следовательно,

В соответствии с (9.149) представляем выражение для спектральной плотности в виде произведения комплексно-сопряженных сомножителей

и находим

2. Рассматривая заданный стационарный случайный процесс как реакцию некоторого формирующего фильтра на стационарный случайный процесс типа «белый шум», имеющий спектральную плотность находим частотную передаточную функцию этого формирующего фильтра по (9.150):

3. Находим передаточную функцию формирующего фильтра:

4. Полученной передфаточной функции формирующего фильтра соответствует следующее дифференциальное уравнение, связывающее случайные процессы

Чтобы привести последнее дифференциальное уравнение к виду (9.135), примем, что спектральная плотность белого шума равна тогда и окончательно случайный процесс можно представить как

где

Соответствующая этому дифференциальному уравнению структурная схема формирующего фильтра показана на рис. 9.21, а.

5. Уравнение (9.143) в данном случае имеет вид

При постоянных значениях коэффициентов это дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и приводится к следующему виду:

Интегрируя по общим правилам, получаем

где — постоянная интегрирования.

Последнее выражение можно переписать следующим образом:

Новую постоянную интегрирования С находят из начальных условий при . В соответствии с (9.144), начальное значение дисперсии ошибки поэтому постоянная интегрирования получается равной

Таким образом, можно записать

Учитывая, что и производя соответствующие преобразования, окончательно получаем

где — отношение спектральных плотностей воспро» изводимого сигнала и помехи, на нулевой частоте.

Рис. 9.21

Подставляя в (9.152) , находим выражение для дисперсии ошибки в установившемся режиме:

6. В соответствии с (9.145) находим функцию

Из (9.153) находим начальное значение коэффициента С (0) (при т. е.

в значение коэффициента в установившемся режиме (при т. е.

7. Дифференциальное уравнение оптимального фильтра Калмана—Бьюси в соответствии с (9.147) имеет вид

Структурная схема, соответствующая этому дифференциальному уравнению, приведена на рис. 9.21, б. Заменяя интегрирующее звено, охваченное обратной связью, инерционным звеном, можно представить структурную схему так, как показано на рис. 9.21, в. Используя эту структурную схему и значения передаточных функций отдельных ее динамических звеньев, определяем для установившегося режима передаточную функцию замкнутой оптимальной системы:

где

Полученное выражение для передаточной функции оптимального фильтра Калмана—Бьюси полностью совпадают с выражением для передаточной функции фильтра Винера, найденного в примерах 9.6 и 9.7.

Следует обратить внимание на то, что даже при стационарных случайных воздействиях в переходном режиме оптимальный фильтр Калмана—Бьюси является нестационарным, поскольку коэффициент изменяется во времени.