Задача с нефиксированным временем.
Рассмотрим задачу с подвижными концами. В условие задачи с нефиксированным временем в отличие от задачи (10.36)-(10.39) с фиксированным временем могут явно входить начальные и конечные моменты времени. Задача оптимального управления в этом случае формулируется следующим образом:
Очевидно, если допустимая пара 
является решением задачи (10.41)-(10.44), то она будет решением этой же задачи при фиксированном времени: 
Поэтому решение задачи (10.41)-(10.44) должно удовлетворять уравнениям Эйлера—Лагранжа и условиям трансверсальности, причем условия трансверсальности дополняются
соотношениями, обусловленными вариацией начального и конечного моментов времени, и принимают вид [13]
Условия (10.45) совпадают с условиями (10.40). Дополнительными являются соотношения (10.46). Их приведенным выше элементарным способом не удается получить.
Задачи с подвижными концами и нефиксированным временем являются наиболее общими. Из них как частные случаи получаются задачи с фиксированным временем и закрепленными или неподвижными концами.
Правило множителей Лагранжа формулируется точно так же, как и в случае задачи с фиксированным временем. Приведем его в несколько иной, чем выше, формулировке.
Правило множителей Лагранжа для задачи с подвижными концами и нефиксированным временем.
Для того чтобы допустимая пара 
была решением задачи (10.41)-(10.44), необходимо, чтобы существовали такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта пара удовлетворяет уравнениям Эйлера—Лагранжа (10.33), (10.34) во всех точках непрерывности управления и условиям трансверсальности (10.45), (10.46). В точках разрыва управления (если таковые существуют) выполняется условие Вейерштрасса—Эрдмана.
Пример 10.3. Дано: уравнения объекта
изопериметрическое ограничение 
краевые условия
Требуется определить оптимальное по быстродействию управление: 
Преобразуем изопериметрическое ограничение: 
Функция 
и условия трансверсальности записываются следующим образом [см. (10.46)]
Гамильтониан и уравнения Эйлера—Лагранжа имеют следующий вид:
Из последних уравнений имеем:
Подставив полученное выражение для управления в исходные уравнения и решив их с учетом краевых условий, получим
Следовательно, правилу множителей Лагранжа удовлетворяет управление
Здесь, как и в примерах 10.1 и 10.2, предполагается, что решение задачи существует, поэтому единственное управление, удовлетворяющее правилу множителей Лагранжа, будет оптимальным. В данном примере условия трансверсальности при определении оптимального управления не использовались. Они потребовались бы, если нужно было бы определить множители Лагранжа.
