Наблюдатель Калмана—Бьюси при цветном шуме объекта.
Рассмотрим задачу линейного оптимального оценивания при условии, что шум объекта является небелым, т. е. как принято еще говорить, является цветным. Пусть объект и наблюдение (измерение) описываются уравнениями
где 
— белый шум наблюдения с характеристиками
— случайный вектор с характеристиками
— шум объекта.
Предполагается, что шум объекта является цветным и удовлетворяет уравнению
где 
— белый шум с характеристиками
— случайный вектор с характеристиками
Последнее уравнение называется уравнением формирователя (формирующего фильтра) или просто формирователем (формирующим фильтром). Формирователь формирует из белого шума с известными характеристиками заданный цветной шум. Введя обозначения
приведенные уравнения можно представить в виде
Здесь, как всюду в этой главе, все нулевые и единичные матрицы независимо от их размера обозначаются 0 и Е.
В преобразованных уравнениях шумы объекта и наблюдения являются белыми. Шумом объекта является 
с интенсивностью 
поэтому наблюдатель Калмана—Бьюси при цветном шуме объекта описывается теми же уравнениями 
но при условии, что в дисперсионное уравнение вместо 
подставляется 
При некоррелированных шумах 
и 
имеем:
Представив дисперсионную матрицу в виде блоков
и принимая во внимание введенные обозначения, матрицу 
и уравнение для оценки можно представить следующим образом:
Из уравнения для Р нетрудно получить уравнения для 
Наблюдатель Калмана—Бьюси при цветном шуме объекта помимо модели исходной системы включает еще модель формирователя (рис. 10.8).
Пример 10.25. Пусть заданы уравнение и начальные условия
где 
— стационарный случайный процесс с характеристиками
Рис. 10.8
— случайная величина с характеристиками
Требуется найти оптимальную оценку по наблюдению:
где 
— белый шум с интенсивностью 
Шумы 
и случайная величина 
не коррелированы между собой.
Путем преобразования Фурье от корреляционной функции находим спектральную плотность шума объекта:
откуда для передаточной функции формирователя получаем
Следовательно, уравнение формирователя имеет вид
где 
— белый шум с нулевым средним и единичной интенсивностью. Наблюдатель Калмана — Бьюси описывается уравнениями
где
Дисперсионное уравнение имеет следующий вид:
или в скалярной форме
При записи скалярных уравнений использована симметричность дисперсионной матрицы 
Начальные условия имеют вид 
