§ 10.3. Принцип максимума Понтрягина. Условие нормальности. Теорема об n интервалах. Вырожденные и особые задачи

Во многих прикладных задачах на управление накладывается ограничение типа неравенства. Часто оптимальное управление в таких задачах имеет разрыв. Метод множителей Лагранжа не позволяет определить число и местоположение точек разрыва, и поэтому в этих случаях он не позволяет находить оптимальное управление. Такие задачи эффективно решаются с помощью принципа максимума Понтрягина.

Принцип максимума, сформулированный Л. С. Понтрягиным в как необходимое условие экстремума для задач оптимального управления, был доказан и развит впоследствии им, его учениками и сотрудниками [1, 4, 17].

Задача с закрепленными концами и фиксированным временем

При отсутствии фазового ограничения задачу оптимального управления в этом случае в общем виде можно сформулировать как следующую задачу Лагранжа:

Все функции непрерывны по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемы по Эта задача отличается от задачи (10.28)-(10.31) с закрепленными концами и фиксированным временем, рассмотренной в предыдущем параграфе, тем, что ограничение задается в виде включения где — допустимое множество значений управления. Кроме того, здесь не требуется гладкость (непрерывная дифференцируемость) функций по управлению и.

Допустимым принимается управление принадлежащее к классу кусочно-непрерывных функций и принимающее значение из допустимого множества Фазовая траектория называется допустимой, если она является кусочно-гладкой. При допустимом управлении фазовая траектория задачи (10.47) является кусочно-гладкой: координаты непрерывны всюду на интервале а их производные могут иметь разрыв 1-го рода в точках разрыва управления. Пара называется допустимой для задачи (10.47), если являются допустимыми управлением и траекторией и при удовлетворяет уравнениям и краевым условиям этой задачи.

Применим к задаче (10.47) прием Лагранжа [1]. Составим функцию Лагранжа:

где гамильтониан

Функцию Н называют также функцией Понтрягина Функции Лагранжа и Понтрягина имеют такой же вид. что и соответствующие функции в вариационных задачах классического типа, рассмотренных в предыдущем параграфе, только в эти функции не входит ограничение на управление, имеющее в данном случае вид включения и . В соответствии с приемом Лагранжа задача (10.47) сводится к задаче

Функционал максимизируется, хотя функционал в исходной задаче требуется минимизировать, так как множитель при или, что то же, при в неособом случае принимается отрицательным . В особом случае функционал не зависит от

Пусть — решение задачи (10.49). Очевидно, задача (10.49) равносильна следующим двум:

или

при тех же граничных условиях, что и в задаче (10.49). Естественно, задачи (10.49)-(10.51), как и исходная задача, рассматриваются в классе допустимых функций, причем функция называется допустимой, если она, как и является элементом множества кусочно-гладких функций.

Задача (10.50) — простейшая задача вариационного исчисления. Для нее необходимые условия (уравнения Эйлера) имеют вид

Решение задачи (10.51) очевидно: управление доставляет максимум в этой задаче в том и только в том случае, если всюду на кроме точек разрыва выполнено равенство

Необходимые условия задачи (10.50) совместно с условием (10.54) составляют необходимые условия задачи (10.47), называемые принципом максимума или принципом максимума Понтрягина. Уравнения (10.53) совпадают с уравнениями объекта, и поэтому их можно не рассматривать. Уравнения (10.52) называют сопряженными уравнениями или сопряженной системой.

Принцип максимума.

Для того чтобы допустимая для задачи (10.47) пара была ее решением, необходимо, чтобы существовали такие не обращающиеся одновременно в нуль константа и решение сопряженной системы (10.52) при что при любом кроме точек разрыва функция достигает при максимума, т. е. выполняется соотношение (10.54).