Условие нормальности.

Введем в рассмотрение -матрицы

где есть столбцы матриц соответственно.

Для объекта выполнено условие нормальности или условие общности полоокения [4, 12], если матрицы (при ) невырождены, т. е. их столбцы линейно независимы, или (при ). Объект, для которого выполнено условие нормальности, будем называть нормальным.

Пример 10.6. Для системы

условие нормальности выполнено. Действительно,

и матрицы

невырождены.

Покажем, что для объекта

всегда условие нормальности выполнено. Не нарушая общности, примем Преобразуем приведенное уравнение к нормальной форме, приняв

В векторной форме эта система уравнений принимает вид где

Как легко вычислить,

поэтому

равен —1 или 1 в зависимости от . В данном случае и условие нормальности выполнено.

Необходимое и достаточное условие оптимальности.

В случае линейной задачи максимального быстродействия при выполнении условий нормальности принцип максимума является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности. Справедливо следующее утверждение [4]: если выполняется условие нормальности, то, для того чтобы допустимая для линейной задачи максимального быстродействия пара была ее решением, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла принципу максимума.

В оптимальном по быстродействию управлении линейным объектом функции принимают только граничные значения при любых собственных значениях матрицы А, если выполнено условие нормальности. В общем случае эти функции имеют произвольное число точек переключений ?— точек перехода с одного граничного значения на другое. В частном случае справедлива следующая теорема [4].