Линеаризованный наблюдатель Калмана—Бьюси.

Рассмотрим алгоритмы оценивания фазовых векторов нелинейных систем, основанные на линеаризации. Пусть объект и наблюдение описываются уравнениями вида

Шумы и случайный вектор не коррелированы между собой и обладают следующими характеристиками:

Произведя линеаризацию относительно некоторой траектории получим

где индекс 0 при производной означает, что она вычисляется в точке

Учитывая, что наблюдатель Калмана—Бьюси состоит из модели системы и обратной связи по невязке, можно записать:

Здесь в уравнении для оценки применяется точная модель системы. Линеаризованная модель используется при вычислении матрицы коэффициентов усиления и дисперсионной матрицы.

Теперь остановимся на выборе траектории относительно которой производится линеаризация. В качестве траектории можно принять номинальную траекторию, которая выбирается до начала процесса получения оценки. Такой способ удобен тем, что производные и соответственно матрицу коэффициентов усиления можно вычислить заранее. Это важно, когда нужно получать оценку в реальном масштабе времени. Его недостаток состоит в том, что при неудачном выборе номинальной траектории (траектории сильно отличаются) возможны большие погрешности в оценке. А чтобы выбрать траекторию близкую нужна большая априорная информация. Указанного недостатка лишен расширенный фильтр Калмана—Бьюси [191. Так называется наблюдатель (10.244), если линеаризация производится относительно точки т. е. в качестве траектории принимается оценка. Недостатком этого наблюдателя является то, что матрицу коэффициентов усиления заранее вычислить нельзя и возникают трудности получения оценки в реальном масштабе времени из-за увеличения объема вычисления в процессе получения оценки. Еще большей точности можно добиться, если использовать итерационный фильтр Калмана—Бьюси [-Так называется наблюдатель (10.244), если после линеаризации относительно номинальной траектории и получения оценки вновь производится линеаризация относительно и получается новая уточненная оценка Эта процедура продолжается до тех пор, пока изменение оценки не станет малым. Недостаток итерационного фильтра Калмана—Бьюси очевиден — большой объем вычислений.

Пример 10.28. Самолет летит на постоянной высоте с постоянной скоростью V. Измеряется угол в направления на радиомаяк М (рис. 10.9). Требуется определить высоту и дальность в текущий момент времени. Имеем:

Рис. 10.9

Расширенный фильтр Калмаиа — Бьюси описывается следующими уравнениями: