Задача с ограничением на фазовые координаты

Если на некоторые из координат фазового вектора накладывают ограничение, то, вообще говоря, теорема об интервалах неверна. Более того, принцип максимума в том виде, как он был сформулирован, несправедлив. Формулировка принципа максимума при наличии ограничений на фазовые координаты намного сложнее, и здесь она не будет приведена.

Чтобы познакомиться с некоторыми особенностями решения задачи с ограничением на фазовые координаты, рассмотрим простой пример.

Пример 10.7. Пусть требуется перевести из начального состояния в конечное за минимальное время объект, который описывается уравнениями при ограничениях и краевых условиях . Примем, что Тогда, пока оптимальное управление и фазовые координаты Очевидно, координата достигает значения в момеит времени Начиная с этого момента времени начинается второй этап, на котором и координата 2 остается постоянной и равной а фазовая координата

Чтобы удовлетворить условию на правом конце траектории, должен существовать третий этап — этап торможения, на котором . Зависимости и от времени показаны на рис. 10.2. Оптимальные управление и траектории имеют вид, приведенный на этом рисунке, если оптимальное время в противном случае ограничение на фазовую координату не будет влиять на решение и оптимальное управление будет состоять из двух интервалов постоянства.

Рис. 10.2

Задачи с несколькими ограничениями.

С увеличением числа ограничений, при которых находятся оптимальные управления и траектория, как правило, решение задачи усложняется. При наличии нескольких ограничений может оказаться, что при их одновременном учете задача аналитически неразрешима, тогда как при их частичном учете задача легко решается. В подобных случаях полезно начинать решение с упрощенных задач, которые получаются из исходной при отбрасывании каких-либо ограничений. В результате их решения может выявиться следующее:

1. Найденные оптимальные управления и траектория какой-либо упрощенной задачи удовлетворяют неучтенным ограничениям. Это означает, что временно не учтенные ограничения являются несущественными в том смысле, что они не влияют на решение задачи и могут быть совсем отброшены. В этом случае найденное решение упрощенной задачи и будет решением исходной задачи.

2. Оптимальные управление и траектория ни одной упрощенной задачи не удовлетворяют неучтенным ограничениям; эти ограничения являются существенными и задачу нужно решить заново с учетом последних. Но и в этом случае решения упрощенных задач бывают полезными, так как они могут «подсказать» решение исходной задачи.

Пример 10.8. Рассмотрим уравнение двигателя при ограничениях . Последнее соответствует одновременному ограничению по току якоря и по иагреву. Пусть требуется определить управление и переводящее вал двигателя из начального состояния в конечное за минимальное время при краевых условиях

Нетрудно убедиться, что в этой задаче не могут быть несущественными оба ограничения, поэтому простейшее упрощающее предположение — это допущение, что существенным является только одно из данных ограничений.

Предположим, что таким ограничением является первое. Второе пока в расчет не будем принимать. Тогда рассматриваемая задача совпадает с примером 10.5 и оптимальное управление

Вычислим интеграл в левой части второго ограничения:

Принятое допущение правомерно, если . В противном случае необходимо при решении учитывать второе ограничение. Пусть, действительно, последнее неравенство не выполняется. Тогда естественно предположить, что при оптимальном управлении интеграл примет максимально возможное значение, поэтому неравенство в ограничении можно заменить равенством. Решим эту задачу без учета первого ограничения. Решение задачи в такой постановке было получено в примере 10.2: оптимальное управление

Это выражение принимает по модулю максимальное значение в начальный и конечный моменты

и найденное управление будет удовлетворять ограничению , если . Если это неравенство, как и ранее полученное не равенство, не выполняется, то необходимо учитывать оба ограничении.

Итак, пусть оба ограничения существенны. В этом случае интегральное ограничение приобретает вид равенства

и исходную задачу неклассического типа можно преобразовать к следующей задаче классического типа:

Решим эту задачу методом множителей Лагранжа. Выпишем гамильтониан и уравнения Эйлера—Лагранжа:

Из этих уравнений следует: . Если то из последнего уравнения Эйлера — Лагранжа и в силу уравнения ограничения т. е. в этом случае оптимальное управление, как и оптимальное управление в упрощенной задаче, когда не учитывается интегральное ограничение, принимает только крайние значения. Из условия стационарности

и если , то

Управление имеет такой же вид, что и оптимальное управление в упрощенной задаче, когда первое из двух ограничений не учитывается.

Таким образом, оптимальное управление и состоит из управлений вида причем с увеличением а длины интервалов, на которых или должны уменьшаться. Эти интервалы должны выродиться в пустое множество, когда а настолько велико, что ограничение становится несущественным, при этом на всем интервале оптимальное управление и К И наоборот, с ростом должен выродиться в пустое множество интервал, на котором и так как в этом случае начиная с определенного значения становится несущественным интегральное ограничение. Как отмечалось, управление принимает по абсолютной величине максимальное значение, и оно прежде всего может не удовлетворять ограничению а на концах интервала Из изложенного следует, что оптимальное управление

где определяются из краевых условий. Дальнейшие вкладки предлагаем проделать самостоятельно в качестве упражнения.