Линейная консервативная система второго порядка.

Уравнение свободных колебаний линейной системы, в которой нет

Рис. 7.8

сил сопротивления движению, приводящих к рассеянию энергии, можно привести к виду

В механической системе наличие члена х, выражающего ускорение, обусловлено массой движущегося тела. Член выражает позиционную силу, пропорциональную перемещению. Она обычно обусловлена пружиной. Обозначив получим

Уравнение фазовой траектории приводится к уравнению с разделяющимися переменными и легко интегрируется в квадратурах

где произвольная постоянная С зависит от начальных условий:

Уравнение (7.5) приводится к каноническому уравнению эллипса полуоси а и b которого равны:

Фазовые траектории, представляющие собой семейство вложенных друг в друга эллипсов с центром в начале координат, показаны на рис. 7.8. Движение по эллипсу соответствует незатухающему колебательному движению с угловой частотой со, которое является решением уравнений (7.4) при начальных условиях т. е.

Для изучения характера траекторий часто удобно упростить выражения, рассмотрев начало движения от одной из осей. Так, если то

Начало координат в рассмотренном примере представляет собой особую точку, не принадлежащую ни одной из траекторий и называемую точкой типа центра. Эта точка устойчива по Ляпунову. Действительно, если задано положительное, сколь угодно малое число то мы всегда можем выбрать эллипс, у которого большая полуось была бы меньше т. е. и далее выбрать так, чтобы было Тогда по модулю не превзойдут при любом Однако с практической точки зрения движение консервативной системы трудно назвать устойчивым, поскольку при наличии случайных помех возможно принципиально неограниченное «блуждание» амплитуды колебаний. Консервативную систему считают находящейся на границе устойчивости. Это пример редкого исключения, когда определение устойчивости по Ляпунову вступает в противоречие с представлением об устойчивости на основе «здравого смысла».