Расчет замкнутых нелинейных систем.

Структурная схема замкнутой системы автоматического управления с одним нелинейным безынерционным элементом всегда может быть приведена к виду, показанному на рис. 9.29.

Допустим, что входной сигнал который в общем случае может представлять собой линейную комбинацию полезного сигнала и помехи, является стационарным случайным процессом с нормальным законом распределения:

В результате расчета требуется по заданным статистическим характеристикам входного сигнала определить математическое ожидание, дисперсию или другие статистические характеристики любой интересующей нас координаты системы, например ошибки регулируемой величины

Рассмотрим метод расчета замкнутых систем на примере определения статистических характеристик ошибки системы.

Заметим, что закон распределения случайного сигнала на выходе нелинейного элемента в общем случае отличается от нормального закона распределения, однако, проходя через линейную часть системы, обладающую в большинстве случаев свойством низкочастотного фильтра, он нормализуется и, таким образом, закон распределения выходного сигнала будет близок к нормальному. На основе этого можно считать, что случайная ошибки на входе нелинейного элемента также имеет нормальный закон распределения. Поэтому при расчетах можно пользоваться формулами и графиками эквивалентных статистических коэффициентов усиления приведенных в приложении 9.2.

Ошибка системы будет представлять собой стационарный случайный процесс

где — математическое ожидание (среднее значение) ошибки; — центрированная составляющая случайной ошибки.

Для простоты будем считать, что нелинейный элемент имеет однозначную нечетную характеристику . В этом

Рис. 9.30

случае на основе метода статистическом линеаризации сигнал на выходе нелинейного элемента приближенно может быть записан следующим образом:

где — математическое ожидание сигнала на выходе нелинейного элемента; — центрированная составляющая случайного процесса на выходе нелинейного элемента; — эквивалентный статистический коэффициент усиления нелинейного элемента по математическому ожиданию; — эквивалентный статистический коэффициент усиления нелинейного элемента по случайной составляющей.

В результате статистической линеаризации нелинейный элемент эквивалентно заменяется двумя линейными безынерционными элементами: один из них с коэффициентом усиления и второй — с коэффициентом усиления При этом исходная нелинейная замкнутая система (рис. 9 29) эквивалентно заменяется двумя замкнутыми связанными линеаризованными системами (рис. 9.30): по математическому ожиданию; по центрированной случайной составляющей.

Передаточные функции разомкнутых линеаризованных систем равны: по математическому ожиданию

по центрированной случайной составляющей

Передаточные функции замкнутых линеаризованных систем относительно ошибки равны, по математическому ожиданию

по центрированной случайной составляющей

Передаточные функции (9.212) и (9.213) взаимосвязаны через коэффициенты которые являются функциями неизвестных величин .

Заметим, что полученные таким образом две связанные линеаризованные системы будут линейными только при определенных постоянных значениях т. е. при стационарном режиме системы. При нестационарном режиме система остается нелинейной, так как коэффициенты зависящие от будут переменными.

Если случайный процесс на входе системы стационарный, то . В этом случае математическое ожидание ошибки связано с математическим ожиданием те входного сигнала следующим соотношением:

Дисперсия ошибки

где — спектральная плотность центрированной случайной составляющей входного сигнала; — спектральная плотность центрированной случайной составляющей ошибки.

Уравнения (9.216) и (9.217) образуют систему алгебраических уравнений:

Система уравнений (9.218) содержит два неизвестных и коэффициенты являющиеся функциями этих неизвестных. Решая систему уравнений, можно найти

Рис. 9.31

математическое ожидание и дисперсию ошибки в установившемся режиме. Решение системы уравнений (9.218) можно произвести либо методом последовательных приближений, либо графоаналитическим методом.

При решении методом последовательных приближений задаются вначале некоторыми значениями коэффициентов и по (9.216) и (9.217) находят в первом приближении, По найденным значениям уточняют величины пользуясь (9.193), (9.194), (9.195), (9.190) или графиками зависимостей приведенными в приложении 9.2. Затем весь цикл вычислений коэффициентов повторяется многократно до тех пор, пока в процессе приближений последующие значения коэффициентов не будет с достаточной точностью совпадать с предыдущими значениями.

Решение графоаналитическим методом производится обычно тогда, когда уравнения системы (9.218) имеют сложный вид. В этом случае в координатах строят кривые, соответствующие обоим уравнениям системы (9.218); точка пересечения этих кривых дает решение указанной системы уравнений.

Графоаналитическое решение уравнений (9.218) целёсооб: разно проводить в такой последовательности:

1. Строят семейство функций (рис. 9.31, а), ирпрльзуя первое уравнение системы (9.218) для различных фиксированных значений

2. Проводят прямую из начала координат под углом 45° и по точкам пересечения ее с кривыми семейства строят график (рис. 9.31, в).

3. Строят семейство функций (рис. 9.31, б), используя второе уравнение системы (9.218) для различных фиксированных значений

4 Проводят прямую из начала координат под углом 45° и по точкам пересечения ее с кривыми семейства строят график .

Точки пересеченных кривых определяют математическое ожидание и дисперсию ошибки в установившемся (равновесном) состоянии нелинейной системы.

После того как будут определены математическое ожидание и дисперсия ошибки, по известным методам линейной теории можно при необходимости рассчитать математическое ожидание и дисперсию случайного сигнала в любой интересующей нас точке системы.

В заключение следует отметить, что метод статистической линеаризации может быть применен и к системам с несколькими нелинейными элементами. Если несколько нелинейных элементов включены последовательно друг с другом, то они могут быть заменены одним нелинейным элементом с результирующей нелинейной характеристикой, построенной по характеристикам отдельных нелинейных элементов. После этого производят статистическую линеаризацию результирующего нелинейного элемента и методом, изложенным выше, находят математическое ожидание и дисперсию в любой интересующей нас точке системы.

Если нелинейные элементы разделены друг от друга инерционными линейными звеньями, то каждый из нелинейных элементов заменяется статистически эквивалентным линейным элементом. Так как для каждого линейного элемента нужно определить два статистически эквивалентных коэффициента то в результате, чтобы найти все коэффициенты линейных элементов, приходится решать систему уравнений, содержащую уравнений, где — число нелинейных элементов в системе. В результате, естественно, расчеты значйтельно усложняются.

Хотя метод статистической линеаризации и является приближенным, он нашел широкое применение при инженерных расчетах нелинейных систем автоматического управления, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка. Точность метода статистической линеаризации тем выше, чем уже полоса пропускания линейной части систем и чем больше плотность вероятности на входе нелинейного элемента приближается к нормальной.