§ 9.7. Синтез линейных систем с минимальной средней квадратической ошибкой

Рассмотрим систему автоматического управления с пере даточной функцией служащую для усиления и преобразования управляющего полезного сигнала при наличии случайной помехи Это преобразование в общем случае производится в соответствии с некоторым заданным оператором (алгоритмом преобразования) (рис. 9.16).

В общем случае система должна возможно более точно воспроизводить на своем выходе не само управляющее воздействие а некоторую функцию от управляющего воздействия

В системах, находящихся под воздействием случайного (или регулярного) полезного сигнала и случайной помехи, возникает задача отделения полезного сигнала от помехи и подавления (фильтрации) последней. Эту задачу называют задачей фильтрации или сглаживания.

Введение преобразующего оператора обобщает задачу не только на обычные следящие системы, у которых т. е. но и на другие классы систем, выполняющие различные преобразования управляющего сигнала.

Рис. 9.16

В зависимости от вида оператора задача фильтрации сочетается с задачей воспроизведения упреждения (предсказания), или экстраполяции интегрирования дифференцирования и др. В общем случае преобразующий оператор может быть произвольным. Идеальное преобразование полезного сигнала в соответствии с (9.107) невозможно из-за динамических ошибок системы, а также из-за наличия возмущающих воздействий (помех). Поэтому выходной сигнал (регулируемая величина) будет отличаться от воспроизводимого сигнала Разность

называют случайной ошибкой системы.

Синтез систем при случайных воздействиях заключается в определении динамических характеристик системы, наилучшим образом обеспечивающих выполнение некоторого статистического критерия оптимальности. Существуют различные статистические критерии оптимальности. Однако наиболее часто за статистический критерий оптимальности принимают критерий минимума средней квадратической ошибки [см. (9.95)]:

где — любая реализация случайной ошибки.

В этом случае задача синтеза состоит в том, чтобы найти такую физически реализуемую оптимальную передаточную функцию замкнутой системы при которой было бы минимальным среднее значение квадрата ошибки:

Согласно критерию средней квадратической ошибки оценка точности системы производится в зависимости от среднего, а не мгновенного значения ошибки, что не всегда является достаточным, например тогда, когда требуется, чтобы ошибка не выходила за заданные пределы. Применение этого критерия может оказаться нерациональным и в тех случаях, когда требования к величине ошибки в разные моменты времени неодинаковы.

Однако несмотря на то, что этот критерий, впрочем, как и всякий другой косвенный критерий, не является универсальным, он благодаря своей простоте получил широкое практическое применение.

Рис. 9.17

При воздействии на систему не коррелированных между собой стационарного сигнала и помехи среднее значение квадрата ошибки состоит из двух составляющих:

Если бы к системе было приложено только одно внешнее воздействие, либо полезный сигнал либо помеха , то теоретически соответствующим выбором параметров передаточной функции (полосы пропускания) системы можно было бы обеспечить любую точность систем. Однако при одновременном действии полезного сигнала и помехи точность системы не может быть любой.

Это наглядно видно из рис. 9.17, где изображены (полученные ниже в примере 9.5) типичные графики зависимости составляющих ошибки и от значения коэффициента усиления разомкнутой системы К. Для лучшего воспроизведения управляющего сигнала , т. е. уменьшения составляющей ошибки система должна иметь возможно больший коэффициент усиления. Однако для того чтобы лучше подавлять помеху , т. е. уменьшить составляющую ошибки система, наоборот, должна иметь возможно меньший коэффициент К. Поэтому, когда на систему действуют одновременно полезный сигнал и помеха, существуют некоторое компромиссное (оптимальное) решение и соответствующие ему оптимальные параметры системы (в данном случае при которых среднее значение квадрата ошибки будет минимальным, меньше которого его, при заданных статистических характеристиках управляющего сигнала и помехи, никаким изменением параметров сделать нельзя.

В зависимости от вида графиков спектральной плотности управляющего сигнала и помехи способы решения задачи синтеза при случайных воздействиях могут быть различны.

В простейшем случае, когда спектры частот полезного сигнала и помехи не налагаются друг на друга (рис. 9.18, а), амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы выбирают достаточно широкой для обеспечения требуемой точности воспроизведения управляющего сигнала и в то же время достаточно узкой для того, чтобы система меньше реагировала на помеху.

Если управляющий сигнал имеет спектр частот, очень быстро убывающий с возрастанием частоты, а спектр помех

близок К белому шуму (рис. 9.18, б), то в этом случае форма амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы должна выбираться при низких частотах, где и сконцентрирована основная энергия управляющего сигнала, возможно более близкой к форме спектральной плотности управляющего сигнала а затем должна быстро убывать, по возможности следуя за убывающей характеристикой . В общем случае, когда спектры частот полезного сигнала и помехи накладываются друг на друга и имеют произвольную форму (рис. 9.18, в), определение оптимальных параметров системы становится довольно сложным.

При синтезе систем со случайными воздействиями различают два вида задач:

1. Синтез при заданной структуре системы управления, когда добиваются минимума средней квадратической ошибки, выбирая оптимальные параметры корректирующих звеньев системы на основании известных статистических характеристик полезного сигнала и помехи.

2. Синтез при произвольной структуре системы управления, когда по заданным статистическим характеристикам полезного сигнала и помехи определяют оптимальную структуру и параметры системы, при которых обеспечивается минимум средней кьадрэтической ошибки.

Синтез при заданной структуре системы. В этом случае задача синтеза формулируется следующим образом. Заданы статистические характеристики полезного сигнала и помехи, например спектральные плотности структура системы и ее передаточная функция

Рис. 9.18

, где — параметры системы.

Требуется найти оптимальные параметры системы которых обеспечивается минимум средней квадратической ошибки.

Эта задача решается следующим образом: зная спектральные плотности и передаточную функцию системы, определяют спектральную плотность ошибки а затем, пользуясь табличными интегралами, находят аналитическое выражение среднего значения квадрата ошибки которое получается зависящим от параметров системы:

Дифференцируя (9.111) по , где и приравнивая нулю частные производные, находят уравнений, из которых определяют оптимальные параметры системы обеспечивающие минимум средней квадратической ошибки.

Как правило, большинство, параметров системы изменять трудно либо невозможно, так как они определяются заданными техническими или конструктивными соображениями. Поэтому обычно выбирают два-три параметра, например постоянные времени корректирующих звеньев, коэффициент усиления разомкнутой системы и др. Если число переменных невелико, то отыскание экстремума функции не вызывает затруднений. При большем числе когда явное выражение среднего значения квадрата ошибки через параметры системы определить затруднительно либо оно слишком громоздко, используют приближенные методы отыскания минимума выражения (9.111) путем числового задания интересующих параметров и построения соответствующих графиков.

Параметры системы, выбранные по критерию минимума средней квадратической ошибки, оценивают затем, исходя из возможности их технической реализации и допустимых динамических показателей системы (времени регулирования, наличия и величины перерегулирования и т. д.).

Заметим, что указанная выше методика выбора оптимальных параметров системы может применяться и при одновременном воздействии на систему регулярных и случайных сигналов.

Пример 9.4. Условия задачи такие же. как и примере 9.1. Требуется определить оптимальное значение коэффициента усиления разомкнутой системы соответствующее минимуму средней квадратической ошибки, и вычислить среднюю квадратическую ошибку при

Ранее (в примере 9.1) было получено выражение для среднего значения квадрата ошибки

Для исследования на минимум средней квадратической ошибки необходимо приравнять нулю производную от этого выражения по коэффициелту усиления разомкнутой системы. В результате получаем

Из последнего уравнения определяем оптимальное значение коэффициента усиления разомкнутой системы:

Подставляя числовые значении параметров, получаем

Подставляя в выражение для среднего значения квадрата ошибки, получаем

Средняя квадратическая ошибка, соответствующая

Пример 9.5. Условия задачи такие же, как и в примере 9,3. Требуется определить оптимальное значение коэффициента усиления разомкнутой системы и вычислить среднюю квадратическую ошибку при

Ранее (в примере 9.3) было получено выражение для среднего значения квадрата ошибки

Приравниваем нулю производную от этого выражения по коэффициенту усиления разомкнутой системы:

Из последнего выражения определяем Копт Подставляя числовые значения параметров, получаем

Среднее значение квадрата ошибки; соответствующее

Средняя квадратическая ошибка

Графики изменения в функции коэффициента усиления системы К приведены на рис. 9.17.