§ 7.8. Устойчивость в малом, большом и целом

В нелинейных системах движение или равновесие, устойчивое в малом, может оказаться неустойчивым при больших отклонениях и первый метод Ляпунова, рассмотренный в гл. 3 для исследования устойчивости на основе уравнений линейного приближения, уже недостаточен для полного исследования устойчивости в нелинейных системах.

Анализ устойчивости движения можно свести к анализу устойчивости равновесия (тривиального решения) в преобразованном фазовом пространстве отклонений. Исследуемое движение и его траекторию считают невозмущенными; предполагается, что к моменту времени, принимаемому за начало отсчета, возмущающие силы сместили изображающую точку с невозмущенной траектории на другую — возмущенную, после чего их действие прекратилось. Отклонения координат изображающей точки на возмущенной траектории в каждый момент от тех координат точки на невозмущенной траектории в тот же момент, которые имели бы место при отсутствии возмущений, принимают за координаты нового фазового пространства. На основе исходных уравнений движения составляют уравнения в этих отклонениях. Но если для линейных систем уравнения в отклонениях были подобны исходным или даже несколько проще их, то для нелинейных систем форма уравнения в отклонениях может оказаться значительно более сложной, чем у исходных уравнений. Начало координат нового пространства будет устойчивой точкой равновесия, если устойчиво невозмущенное движение.

Если точка равновесия устойчива, то вокруг начала координат существует область притяжения траекторий — область С (на рис. 7.37 однократно заштрихована). Если известно лишь то, что область притяжения существует, то считают, что состояние равновесия устойчиво в малом, т. е. устойчивость гарантируют лишь при достаточно малых отклонениях.

Пусть область существует. Зададимся областью допустимых начальных отклонений например, в виде гиперкуба

Рис. 7.37

с центром в начале координат, ребра которого параллельны осям координат и имеют длину (на рис. 7.37 — дважды заштрихованный квадрат). В соответствии с определением устойчивости Ляпунова равновесие устойчиво (в малом), если можно выбрать такое К, что область будет целиком принадлежать области (рис. 7.37, а).

Для того чтобы определить устойчивость в большом, нужно задаться, кроме того, областью возможных (по техническим условиям) в данной системе отклонений. Зададим также в виде соосного с гиперкуба с длиной ребра . Если гиперкуб целиком принадлежит области равновесие устойчиво в большом (рис. 7.37, а), если часть его находится вне области равновесие устойчиво в малом, но неустойчиво в большом (рис. 7.37, б). Математически сказанное формулируется так: если при наперед заданном положительном (соответствует зачерненным квадратам на рис. 7.37, а, б) можно выбрать другое положительное число такое, что при начальных отклонениях удовлетворяющих условию

значения при всех будут удовлетворять соотношению

то равновесие устойчиво в малом.

Если, кроме того, возможные начальные отклонения удовлетворяют условиям

то равновесие устойчиво в большом.

Если область распространяется на все пространство, равновесие называют устойчивым в целом. Так как обычно границы области установить бывает трудно, об устойчивости в целом судят по величине если она не ограничена, т. е. условие соблюдается при любом сколь угодно большом К, имеет место устойчивость в целом.

Если приведенные условия соблюдаются при любом сколь угодно малом говорят, что равновесие устойчиво асимптотически.

Для исследования устойчивости в большом и целом используют специальные методы, из которых ниже коротко рассматриваются два — второй (прямой) метод А. М. Ляпунова и

метод В. М. Попова — для исследования абсолютной устойчивости (т. е. устойчивости в целом для определенного класса нелинейностей).

Пример 7.2. Получим уравнения в отклонениях для исследования устойчивости периодического движения

выражающего основную гармонику автоколебаний и являющегося точным решением уравнения (7.31)

и приближенным решением уравнения (7.29) Считая (7.44), в котором уравнениями невозмущенного движения, зададим приращения двум основным параметрам :

Так как зависят от А, они также получат приращения но найти их непосредственно из (7.34) нельзя, так как в подынтегральные выражения теперь входит неизвестная функция времени Чтобы обойти это затруднение, прибегают к приближенному нахождению для чего предполагают, что А изменяется настолько медленно, что в течение одного периода оно мало отличается от постоянного и может быть заменено постоянным числом, равным усредненному за период значению А. Тогда по (7.34) находят и b как функцию подобного изменяющегося ступенями от периода к периоду аргумента А. Затем вводят еще одно допущение: в полученных функциях аргумент А является уже не ступенчатой, а непрерывной функцией и приращения выражаются через следующим образом:

Используя (7.45) и известные в математике выражения для преобразования действия линейного оператора (где М — полином, на произведения функций и

где , т.е. получим

где

Подставляя вместо А и вместо после преобразований и отбрасывания малых высших порядков получим

где

Исключая уравнения установившихся автоколебаний

и приравнивая порознь нулю коэффициенты при получим

Это линеаризованные уравнения в отклонениях параметров автоколебаний — амплитуды А и фазы Они значительно сложнее исходного уравнения (7.45). Исследование устойчивости периодического движения в малом свелось теперь к исследованию устойчивости в малом равновесия или тривиального решения путем при ложения любого из критериев устойчивости к характеристическому уравнению

Эквивалентную гармоническую линеаризацию можно осуществить по уравнениям (7.47).

«Медленность» изменения параметров позволяет существенно упростить приближенное исследование переходного процесса при малых отклонениях.

«Медленность» изменения означает, что скорость изменения функций в любой момент времени принимается малой в сравнении с , но учитываемой величиной, высшие же производные считаются

в сравнения с малыми высших порядков и отбрасываются. Пренебрегая оставляем в полиномах свободные члены и члены, содержащие в первой степени, и получаем пару уравнении первого порядка для приближенного описания изменения переменных