§ 9.9. Нелинейное преобразование случайных сигналов

Нелинейные элементы в общем случае вызывают искажение входного случайного сигнала. В нелинейных системах принцип суперпозиции неприменим, поэтому при одновременном воздействии на систему, например, полезного регулярного сигнала и случайной помехи из-за нелинейного преобразования этих сигналов помеха может значительно уменьшить эффект действия полезного сигнала.

Допустим, что на вход нелинейного элемента поступает случайный сигнал

где — математическое ожидание (среднее значение) входного воздействия; — центрированная случайная составляющая входного воздействия.

Предполагая, что случайный процесс является стационарным, т. е. рассмотрим, как будет искажаться входной случайный сигнал при прохождении его, например, через нелинейный безынерционный элемент с зоной насыщения (рис. 9.23).

При малом уровне помех, когда входное воздействие не выходит за пределы линейного рабочего участка, имеющего угол наклона а, выходной сигнал равен

где — коэффициент усиления элемента; — математическое ожидание сигнала на выходе элемента; — центрированная случайная составляющая сигнала на выходе элемента.

В этом случае среднее значение выходного сигнала пропорционально среднему значению входного сигнала .

С ростом уровня помех, когда входное воздействие выходит за пределы линейного участка, среднее значение выходного

сигнала уменьшается и при очень большом уровне помех оказывается близким к нулю.

Таким образом, увеличение уровня помех, определяемого дисперсией случайного входного сигнала, уменьшает полезный сигнал на выходе нелинейного элемента, что эквивалентно уменьшению коэффициента преобразования нелинейного элемента.

Одновременно с этим выходной сигнал обогащается как высокочастотными, так и низкочастотными гармониками, т. е. происходит изменение спектрального состава выходного случайного процесса по сравнению со спектральным составом входного случайного процесса.

Допустим, например, что на нелинейный элемент типа насыщения поступает случайный сигнал, среднее значение которого ту, а плотность вероятности соответствует нормальному закону распределения (рис. 9.24).

Линейный участок характеристики в пределах не оказывает влияния на форму кривой плотности вероятности, т. е. при

Выходной сигнал нелинейного элемента не может превышать уровня насыщения В, поэтому вероятность появления сигнала, большего по абсолютной величине, чем В, равна нулю, т. е. при

Рис. 9.23

Рис. 9.24

Всем значениям входного сигнала или будет соответствовать значение выходного сигнала или поэтому вероятность получения величины В или —В на выходе нелинейного элемента сильно возрастает и становится равной величине заштрихованной площади под участком кривой плотности вероятности входного сигнала, лежащей в пределах от до

Это выразится в том, что плотность вероятности выходного сигнала в точках будет представлять собой -функции, т. е. импульсы бесконечно большой величины и бесконечно малой ширины, площадь S которых равна заштрихованной площади под соответствующим (правым или левым) участком кривой плотности вероятности входного сигнала.

Таким образом, выражение для плотности вероятности выходного сигнала можно записать так:

Общая площадь под кривой плотности вероятности выходного сигнала, естественно, остается равной единице, т. е.

Исследование нелинейных систем, находящихся под воздействием случайных процессов, значительно сложнее, чем линейных систем.

Общих точных методов исследования подобных систем нет, и для изучения систем в этом случае обычно используют приближенные методы.