Гипотезы М. Айзермана и Р. Калмана.

Устойчивость в гурвицевом угле. Заменим в системе (7.52) нелинейный элемент линейной отрицательной обратной связью:

Тогда образуется линейная замкнутая система, характеристический полином которой будет

где — числитель, — знаменатель передаточной функции

Эту систему называют системой сравнения. Пусть при выполнении неравенства

полином (7.85) гурвицев, т. е. замкнутая линейная система устойчива. Наименьшее и наибольшее значения при которых система попадает на границу устойчивости, ограничивают угол называемый гурвицевым углом.

В процессе развития теории абсолютной устойчивости были высказаны две гипотезы.

Гипотеза М. Айзермана.

Пусть даны уравнений (7.53), нелинейность принадлежит сектору и для всех матрица гурвицева. Тогда нелинейная система абсолютно устойчива. Иными словами, по гипотезе М. Айзермана, угол равен гурвицеву углу , т. е. система абсолютно устойчива в гурвицевом угле.

Гипотеза оказалась в общем случае неверной (для нее был указан противоречащий пример). Тогда была выдвинута гипотеза Р. Калмана.

Гипотеза Р. Калмана.

Пусть в уравнениях (7.53) нелинейность удовлетворяет условиям

и для всех матрица гурвицева. Тогда нелинейная система абсолютно устойчива.

Г ипотеза оказалась неверной в общем случае.

Но для многих видов передаточных функций линейных частей гипотезы либо М. Айзермана, либо Р. Калмана могут выполняться. Отыскание условий, при которых выполняются эти гипотезы, представляют существенный интерес для практики, так как абсолютная устойчивость нелинейных систем, для которых гипотезы выполняются, может исследоваться по линейным критериям. Можно сказать, что такие системы абсолютно устойчивы, если они минимально устойчивы.

Представим частотную характеристику линейной части в виде

где — передаточный коэффициент линейной части; «нормированная» частотная характеристика с передаточным коэффициентом, равным единице. Выберем достаточно малым так, чтобы характеристика а следовательно, и

располагались правее прямой (рис. 7.42). Пусть характеристика пересекает отрицательную вещественную полуось и крайняя левая (т. е. наиболее удаленная от начала координат) точка пересечения соответствует частоте . Пусть частотная характеристика такова, что касательная к ней в точке, соответствующей не имеет пересечений с кривой, т. е. характеристика лежит правее этой касательной, как показано на рис. 7.42. Назовем касательную правее которой расположена кривая, предельной касательной. Проведем через точку на вещественной оси прямую, параллельную предельной касательной. Очевидно, что для нелинейностей из сектора эта прямая будет также прямой Попова. Начнем увеличивать Тогда размер характеристики будет увеличиваться, но форма ее будет сохраняться и предельная касательная будет перемещаться влево параллельно самой себе (пунктирные кривая и касательная на рисунке). Когда достигнет такой величины, что левая точка пересечения характеристики попадет в точку на вещественной оси, будет иметь место равенство Кривая Найквиста разомкнутой системы таким образом, пройдет через критическую точку —1, 0 и устойчивость линейной замкнутой системы нарушится. Но одновременно и предельная касательная совпадет с прямой Попова и нарушится условие Попова для абсолютной устойчивости нелинейной системы из класса . В данном случае верхняя граница гурвицева угла совпадает с углом . Нижняя граница, правда, не совпадает, но нас она не интересует, поэтому мы назовем данную систему абсолютно устойчивой в гурвицевом угле. Гипотеза М. Айзермана для нее справедлива в положительной части гурвицева угла.

Пусть теперь характеристика такова, что предельная касательная к ней не проходит через крайнюю левую точку пересечения характеристики с отрицатель ной вещественной полуосью (рис. 7.43). В процессе возрастания при некотором его значении предельная

Рис. 7.42

Рис. 7.43.

касательная совместится с прямой Попова и условие Попова для абсолютной устойчивости нарушится, хотя линейная замкнутая система с тем же значением будет еще устойчивой. Нарушение ее устойчивости произойдет при значении когда точка, соответствующая к частотной характеристике, попадет в точку — Система с такой характеристикой не будет абсолютно устойчивой в гурвицевом угле, и для нее несправедливы ни гипотеза М. Айзермана, ни гипотеза Р. Калмана.

С помощью описанных построений можно в плоскости построить секторы абсолютной устойчивости асболютной неустойчивости и неопределенности. Вещественная ось и прямая ограничивают в первом квадранте сектор абсолютной устойчивости (рис. 7.44). Прямая является нижней границей сектора абсолютной неустойчивости (заштрихован однократно), в котором линейная система неустойчива и не соблюдены условия Попова. Между прямыми заключен сектор неопределенности, в котором линейная система сравнения устойчива, но достаточное условие абсолютной устойчивости не соблюдается и мы не можем утверждать, что система абсолютно устойчива, но и не можем сказать, что она неустойчива.

Графоаналитический метод позволяет легко определить, будет ли система абсолютно устойчивой в гурвицевом угле (или его положительном секторе), но аналитическое определение этого весьма сложно. В настоящее время установлено, что нелинейная система из класса устойчива в гурвицевом угле, если линейная часть состоит из любого числа последовательно включенных устойчивых звеньев первого порядка.

В случае дифференцируемых монотонно возрастающих нелинейных характеристик из класса , одновременно удовлетворяющих неравенствам линейная часть может кроме упомянутых звеньев первого порядка иметь в последовательной цепи любое число колебательных звеньев, передаточные функции которых имеют комплексные полюсы

Рис. 7.44

с отношением мнимой части к вещественной, не превышающим 3 [5].