§ 10.2. Метод классического вариационного исчисления (метод множителей Лагранжа)

Задачи с закрепленными концами и фиксированным временем

Если концы закреплены и время фиксировано, то в классическом случае задачу оптимального управления в общем виде можно сформулировать как следующую задачу Лагранжа:

Предполагается, что функции являются непрерывными и дифференцируемыми по всем своим аргументам, управление принадлежит классу кусочно-непрерывных функций, а траектории классу кусочно гладких функций.

Напомним, что функция называется кусочно-непрерывной на если она непрерывна всюду на за исключением конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Функция называется кусочно-гладкой на если на она сама непрерывна, а ее производная кусочно-непрерывна.

Управление из класса кусочно-непрерывных функций назовем допустимым управлением, а траекторию из класса кусочно-гладких функций — допустимой траекторией. Пару назовем допустимой, если допустимыми являются

Уравнения Эйлера. Рассмотрим сначала простейшую задачу классического вариационного исчисления:

Пока для простоты будем считать, что является скалярной функцией и принадлежит классу непрерывно дифференцируемых функций на интервале Экстремум ищется среди функций указанного класса, удовлетворяющих заданным краевым условиям. Такие функции будем называть допустимыми функциями или допустимыми точками (имеется в виду точка в функциональном пространстве).

Пусть экстремум достигается в допустимой точке . Точка , где — число, будет допустимой, если и выполняются краевые условия

При каждом фиксированном получаем функцию от числового аргумента

которая, очевидно, достигает экстремума при Поэтому согласно теореме Ферма, производная

Интегрируя второе слагаемое по частям и учитывая краевые условия (10.18), получим

Согласно основной лемме вариационного исчисления, последнее равенство возможно при произвольной если только

Итак, если функция доставляет экстремум функционалу (10.16), то она удовлетворяет уравнению (10.20), которое называется уравнением Эйлера. Допустимая функция, удовлетворяющая уравнение Эйлера, называется экстремалью или стационарной точкой задачи (10.16), (10.17). Следовательно, решения задачи (10.16), (10.17) являются экстремалями; обратное в общем случае неверно.

Как легко проверить, все выкладки остаются справедливыми и в случае, когда — векторная функция (—матрица). При этом уравнение (10.20) является векторным. Покажем, как из равенства (10.19) получается векторное уравнение Эйлера (10.20).

По определению, производная от скалярной функции по векторному аргументу есть вектор-строка

Напомним, что индекс Т обозначает операцию транспонирования. Перемножив под интегралом (10.19) вектор-строку на вектор-столбец по правилу перемножения матриц, получим

Это равенство должно выполняться при произвольной в частности когда все ее компоненты, кроме одной, равны нулю: при всех Полагая, что пробегает значения от 1 до из последнего равенства получим систему уравнений

откуда в соответствии с основной леммой вариационного исчисления найдем

Эта система представляет собой скалярную форму записи векторного уравнения (10.20).