Для доказательства этого принципа введем в рассмотрение множество
пар
из кусочно-непрерывных на
функций и
удовлетворяющих ограничению
и определим на нем функционал:
Очевидно, допустимое множество является подмножеством
с
Поэтому функционал (10.76) определен и на
причем на
в силу уравнения из условия (10.70)
и функционалы (10.71) и (10.76) совпадают:
Обозначим
В силу непрерывности
и, следовательно,
Из неравенства
следует, что I является нижней гранью функционала
Если выполняются соотношения
то, очевидно,
Таким образом,
является точной нижней гранью функционала (10.71) и достигается на последовательности
. Следовательно, эта последовательность является решением задачи (10.70), (10.71), что и доказывает принцип оптимальности Кротова. Если
, т. е. решением является допустимая пара, принцип оптимальности Кротова формулируется следующим образом: для того чтобы допустимая пара
была решением задачи (10.70), (10.71), достаточно существования такой функции Кротова
что
где
по-прежнему определяются соотношениями (10.74) и (10.75).
Как решается задача оптимального управления на основе принципа оптимальности Кротова? Допустим для простоты рассуждения, что. решение существует в классе допустимых пар. Подход, основанный на принципе оптимальности Кротова, состоит в том, что вместо непосредственного отыскания допустимой пары
, доставляющей минимум критерию оптимальности, отыскиваются функция Кротова и допустимая пара, удовлетворяющие условиям (10.77). В общем случае такой подход сводит вариационную задачу к задачам нелинейного программирования в конечномерном пространстве.
Как следует из формулировки принципа оптимальности Кротова, существует достаточно большой произвол в выборе функции
. Этот произвол иногда позволяет преодолеть те трудности, которые при других методах преодолеть не удается. Способ задания функции
определяет метод решения. Путем определенного способа задания функции
можно получить уравнение Беллмана и принцип максимума Понтрягина.
Рассмотрим два различных способа задания функции Кротова. Пусть область ограничения
можно представить в виде прямого произведения:
. Тогда первое соотношение в (10.77) можно представить в виде
Один из возможных способов задания функции Кротова заключается в таком ее выборе, что функция
не зависит от
. При таком способе соотношение (10.78) принимает вид
При другом способе функцию Кротова выбирают таким образом, чтобы функция
не зависела от и
. В этом случае соотношение (10.78) записывается в виде
Способ задания функция
зависит от задачи, и успех ее решения в значительной степени определяется тем, как задается функция Кротова.
Пример 10.13. Рассмотрим задачи из
Первая задача:
Здесь и, x — скаляры. Составим функцию
Так как концы траектории закреплены, функция
не рассматривается. Выберем функцию
так, чтобы функция
не зависела от управления. Это условие будет выполнено, если
где
— произвольная гладкая функция. В этом случае
и соотношение (10.80), принимает вид
откуда
. В силу уравнения объекта
. Пара
является допустимой и удовлетворяет достаточным условиям оптимальности. Следовательно, это пара является искомым решением.
Заметим, что решить рассмотренную задачу методом динамического программирования или используя принцип максимума Понтрягина не удается.
Вторая задача: пусть уравнения, ограничение и краевые условия те же, а критерий оптимальности имеет вид
В этом случае
Примем
. Тогда
и максимум этой функции достигается при
и равен нулю, т. е.
Пара
не удовлетворяет заданному уравнению
, следовательно, не является решением.
Попытаемся найти допустимую последовательность пар
на которой достигается нижняя грань функционала, равная нулю. Рассмотрим последовательность пар
Функции
при каждом фиксированном
являются соответственно кусочно-непрерывными и кусочно-гладкими, удовлетворяют всем условиям задачи. Таким образом, последовательность пар
является допустимой. Последовательность
равномерно стремится к нулю, а все члены последовательности
принимают только значения ±1. Поэтому
Таким образом, приведенная выше последовательность удовлетворяет достаточным условиям оптимальности и, следовательно, является искомым решением.
Рассмотрим задачу с нефиксированным временем. Пусть
фиксировано,
может изменяться в интервале
условия совпадают с (10.70), а критерий оптимальности имеет вид
Обозначим
В данном случае, если решение существует в классе допустимых пар, принцип оптимальности Кротова формулируется следующим образом: для того чтобы допустимая пара
была решением задачи (10.70), (10.81) с нефиксированным временем, достаточно существования функции Кротова
и времени
таких, что:
2°)
почти всюду на
Это утверждение доказывается аналогично принципу оптимальности Кротова для задачи с фиксированным временем [11].
Установим связь между достаточными условиями в методе Кротова и уравнением Беллмана в методе динамического программирования.
Рассмотрим задачу (10.63). Обозначим
Допустим, удалось найти такую функцию Кротова, что функция
не зависит от х, а функция
не зависит от
Тогда
В последнем соотношении опущена операция минимизации по начальной точке
так как она фиксирована. Для задачи (10.63) функция
и не зависит от
если
Очевидно, условие 3° в принципе оптимальности Кротова совпадает с (10.82), условия 1° и 2° принимают вид
или, так как
не зависит от управления,
При
последнее соотношение совпадает с уравнением Беллмана (10.65), а соотношение (10.82) — с условием (10.66). Таким образом, при специальном выборе функции Кротова достаточные условия
совпадают с уравнением Беллмана с соответствующим краевым условием.