§ 9.6. Расчет линейных систем при случайных воздействиях

Рассмотрим замкнутую линейную следящую систему (рис. 9.12), предназначенную для возможно более точного воспроизведения полезного (управляющего) сигнала Действующего на входе системы, при наличии помехи приложенной в произвольной точке системы. В общем случае действующие на систему внешние воздействия — полезный сигнал и помеха — могут представлять собой произвольно изменяющиеся во времени регулярные сигналы, на которые наложены случайные процессы. В этом случае сигнал и помеху удобно представить следующим образом:

где — эквивалентные регулярные составляющие полезного сигнала и помехи, включающие в себя как математическое ожидание соответствующего случайного процесса,

Рис. 9.12

так и соответствующий регулярный сигнал; центрированные случайные составляющие полезного сигнала и помехи соответственно.

Тогда любую искомую координату системы можно также представить в виде двух составляющих: эквивалентной регулярной составляющей и центрированной случайной составляющей. При расчетах систем автоматического управления обычно интересуются динамической точностью системы, характеризуемой ошибкой системы На основании изложенного выражение для ошибки системы при случайных воздействиях может быть записано в виде

Таким образом, нахождение случайной ошибки можно свести к нахождению ее регулярной составляющей и центрированной случайной составляющей . При этом в линейной системе на основании принципа суперпозиции складываются из составляющих от действия по лезного сигнала и помехи, которые можно находить порознь.

Регулярную составляющую ошибки можно рассматривать как реакцию линейной системы на регулярные внешние воздействия и определять через передаточные функции системы:

где — передаточная функция замкнутой системы, связывающая ошибку и полезный сигнал; — передаточная функция замкнутой системы, связывающая ошибку и помеху.

Установившееся значение (математическое ожидание) ошибки при медленно меняющихся регулярных функциях обычно определяют методом коэффициентов ошибок.

В частном случае если регулярные внешние воздействия постоянны (либо отсутствуют), а случайные воздействия представляют собой стационарные случайные процессы, то . В этом случае ошибка будет являться стационарным случайным процессом, математическое ожидание которого определяется через уравнение статики системы:

Центрированную случайную составляющую ошибки можно рассматривать как реакцию системы на центрированные случайные составляющие управляющего сигнала и помехи . Так как представляет собой случайный процесс, то находят не мгновенные значения а некоторые ее статистические вероятностные характеристики (дисперсию ошибки и др.).

Центрированные случайные составляющие полезного сигнала и помехи обычно задаются или корреляционными функциями и или спектральными плотностями Если полезный сигнал и помеха коррелированы, то задается также взаимная корреляционная функция или взаимная спектральная плотность На основе выражений (9.78), (9.79) или (9.81), (9.82) по заданным корреляционным функциям или спектральным плотностям внешних воздействий полезного сигнала и помехи определяют корреляционную функцию или спектральную плотность ошибки, а затем, используя их, находят статистические (вероятностные) характеристики ошибки.

Так, например, зная корреляционную функцию ошибки можно, используя выражение (9.33) определить дисперсию ошибки:

Если известна спектральная плотность ошибки то на основании (9.56) дисперсию ошибки можно найти по формуле

В практических расчетах дисперсию ошибки чаще всего определяют через спектральную плотность, используя формулу (9.89).

Спектральную плотность ошибки для рассматриваемой системы (рис. 9.12) при коррелированных полезном сигнале и помехе в соответствии с (9.79) вычисляют по формуле

Рис. 9.13

где — спектральные плотности центрированных случайных составляющих полезного сигнала и помехи — взаимные спектральные плотности

между — частотная передаточная функция, связывающая ошибку и полезный сигнал ; — частотная передаточная функция, связывающая ошибку и помеху ; — частотная передаточная функция размокнутой системы; — частотная передаточная функция части разомкнутой системы между точкой приложения помехи и выходом системы.

При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой их взаимные спектральные плотности равны нулю и выражение для спектральной плотности ошибки упрощается:

В частном случае, когда помеха действует на входе разомкнутой системы (как это показано на рис. 9.13) и корреляция между полезным сигналом и помехой отсутствует, выражение (9.91) можно записать в виде

Дисперсия ошибки, вычисляемая по (9.89), в общем случае состоит из отдельных составляющих, определяемых слагаемыми (9.90):

Обычно находят отдельно для для и т. д., а затем суммируют все составляющие дисперсии в соответствии с (9.93).

В соответствии с (9.20) среднее значение квадрата ошибки равно

где — регулярная составляющая (математическое ожидание) ошибки, определяемая по (9.86); дисперсия ошибки, определяемая по (9,88) или (9.89).

Зная можно по (9.21) вычислить среднюю квадратическую ошибку:

Заметим, что если регулярная составляющая (математическое ожидание) ошибки, определяемая по (9.86), постоянна, то

В частном случае, когда внешние воздействия не содержат регулярных составляющих, а представляют собой центрированные стационарные процессы, и критерием динамической точности системы можно считать дисперсию ошибки, которая в данном случае равна среднему значению квадрата ошибки:

или среднее квадратическое отклонение ошибки

Чтобы по известной спектральной плотности найти дисперсию ошибки при случайных воздействиях, необходимо вычислить интеграл (9.89). Вычисление этого интеграла довольно сложно, поэтому на практике его выполняют двояко: либо аналитическим методом, используя стандартные (табличные) интегралы, либо методом графоаналитического интегрирования.