Глава 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 7.1. Основные типы. нелинейных систем и характеристик

К нелинейным системам относят все системы, которые не могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями. Множество нелинейных систем настолько широко и многообразно, что практически нельзя говорить о едином «классе» нелинейных систем, противостоящем классу линейных систем. В данной главе рассмотрен значительно более узкий, хотя и широко распространенный в практике управления, класс нелинейных систем, характеризуемый следующими особенностями: систему можно представить в виде соединения двух частей (рис. 7.1) — линейной части ЛЧ, описываемой линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, и нелинейного элемента НЭ. Нелинейный элемент является безынерционным, и его входная х и выходная у величины связаны между собой нелинейными алгебраическими уравнениями. Таким образом, нелинейность рассматриваемых систем обусловлена нелинейностью статической характеристики одного из ее элементов.

Если система содержит несколько нелинейных элементов, то ее в некоторых случаях можно свести к рассматриваемому классу, заменив нелинейные элементы одним с результирующей статической

Рис. 7.1

Рис. 7.2

характеристикой. Например, при параллельном, последовательном или встречно-параллельном соединении нелинейных элементов такое сведение выполнимо.

На рис. 7.2 приведен пример нахождения результирующей статической характеристики двух параллельно включенных нелинейных звеньев. Построив на одном графике характеристики I и II обоих звеньев, суммируем их ординаты и получаем характеристику III эквивалентного звена.

На рис. 7.3 показано нахождение результирующей характеристики двух последовательно включенных нелинейных звеньев. В первом квадранте построена статическая характеристика входного звена цепочки, во втором квадранте — характеристика II следующего звена, но так, что оси ее повернуты на ось абсцисс совпадает с осью ординат характеристики I, а ось ординат направлена по отрицательной полуоси абсцисс. Задаемся некоторым значением (точка на оси ). Восставляем перпендикуляр в точке 1 до пересечения с характеристикой (точка ) проводим из точки 2 линию, параллельную горизонтальной оси, до пересечения с характеристикой II (точка 5). Отрезок от

Рис. 7.3

начала координат до основания перпендикуляра, опущенного из точки 3 на ось абсцисс, равен искомому значению соответствующему Но удобнее построить характеристику III в четвертом квадранте, поэтому перенесем точку 3 с помощью биссектрисы квадрантного угла, проведя из точки 3 вертикальную линию 3—4 до пересечения с О А (точка 4) и из точки 4 горизонтальную линию 4 - 5 до встречи с продолжением перпендикуляра 1—2 (точка 5). Точка 5 принадлежит статической характеристике III эквивалентного звена. Находя аналогичным способом ряд точек и соединяя их плавной кривой, получаем результирующую характеристику III.

Наиболее просто строится характеристика последовательного соединения трех звеньев. Характеристики I и II располагаются, как и в предыдущем случае, в первом и втором квадрантах, характеристика III третьего звена — в третьем квадранте вместо биссектрисы с соответствующим поворотом осей (рис. 7.4).

На рис. 7.5 построена результирующая характеристика III нелинейного звена 1, охваченного нелинейной отрицательной обратной связью с характеристикой II (рис. 7.5, а). В первом квадранте (рис. 7.5, б) построена характеристика звена I. Задаемся некоторым значением лвых (точка 1) и найдем, чему будет равно при наличии обратной связи. Без обратной

Рис. 7.4

Рис. 7.5

связи находится непосредственно из характеристики Но при наличии отрицательной обратной связи отрезок будет равен результирующему входному воздействию: где характеристика обратной связи. Поэтому для нахождения надо прибавить величину воздействия обратной связи:

Если во втором квадранте построить характеристику II обратной связи направив ось влево, то величина будет равна сумме отрезков и , т. е. расстоянию от точки 2 до точки 1. Перенеся этот отрезок измерителем по горизонтали вправо так, чтобы левый конец отрезка лег на ось ординат, получим точку 3 результирующей статической характеристики.

При положительной обратной связи (хвых) характеристику II удобнее строить в первом квадранте, совместив ось с осью (рис. 7.5, с). Искомая абсцисса результирующей характеристики III равна разности: , т. е. расстоянию между кривыми и II.

Если же между нелинейными звеньями имеются разделяющие их инерционные линейные, то систему уже не удается Свести к рассматриваемому классу. Она относится к классу систем с несколькими нелинейностями, в данной книге не рассматриваемому.

Если передаточная функция линейной части равна , а уравнение нелинейного элемента имеет вид то дифференциальные уравнения системы

где

Часто систему приводят к виду

Так, например, описывается система регулирования с сервомотором, имеющим нелинейную характеристку Сервомотор воздействует на одну из координат его входная величина о в общем случае есть линейная функция остальных координат. В частном случае, когда все кроме одного, равны нулю, уравнения (7.1 в) переходят в уравнения (7.16).

Некоторые наиболее распространенные типы нелинейных характеристик показаны на рис. 7.6. Характеристика 1 свойственна системам с насыщением, характеристика 2 — электромагнитным устройствам с гистерезисом, характеристика 3 — выпрямителям.

В практике часто встречаются элементы, характеристики которых кусочно-линейны или аппроксимируются кусочно-линейными графиками. Кривая 4 изображает кусочно-линейную аппроксимацию кривой намагничивания, кривая 5 — характеристики с насыщением, кривая 6 — характеристики идеального выпрямителя. Кусочно-линейными характеристиками обладают: идеальное поляризованное реле (кривая 7), трехпозиционное поляризованное реле с зоной нечувствительности (8), трехпозиционное реле с зоной нечувствительности и гистерезисом (9), у которого величина срабатывания больше величины отпускания двухпозиционное реле с гистерезисом

Рис. 7.6

(10), например поляризованное реле, которое не имеет устойчивого, отключенного состояния и контакт которого всегда замкнут в ту или другую сторону. Механизмы с мертвым ходом имеют характеристику, изображенную кривой 11. При сцеплении передач перемещение ведомой шестерни происходит в одну сторону по линии А, в противоположную — по линии Б. При изменении направления движения, пока выбирается мертвый ход, ведомая шестерня неподвижна (горизонтальные участки). Сходную характеристику имеют и элементы с сухим трением, если по оси х откладывается прилагаемое к подвижной части усилие, а по оси у — ее перемещение. Кривая 12 изображает характеристику нейтрального электромагнитного реле с гистерезисом.

Для последующего изложения полезно в рассматриваемом классе нелинейных систем выделить подкласс которого характеристика проходит через начало координат и укладывается в прямых углах, образованных осями х и у и лежащих в первом и третьем квадрантах. Поскольку первая ось. имеет угловой коэффициент 0, а вторая введено обозначение подкласса Внутри угла характеристики могут располагаться произвольно, сколь угодно близко подходить к сторонам угла и частично с ними совпадать. К этому подклассу относятся кривые 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Внутри подкласса иногда выделяют более узкий подкласс , у которого характеристики лежат в острых углах, образованных осью х и проходящим через начало координат лучом с угловым коэффициентом лежащим в первом и третьем квадрантах. К данному подклассу относятся характеристики 1, 3, 4, 5, 6, 8 и 9. Характеристики 2, 10, 11 и 12 к отмеченным подклассам не относятся.