Сингулярная (вырожденная) задача линейного оптимального оценивания.

Задача линейного оптимального оценивания называется сингулярной или вырожденной, если матрица интенсивности шума наблюдения вырождена. Сингулярные задачи возникают, когда часть компонент выходной переменной измеряется точно или когда шум наблюдения является цветным и матрица интенсивности обобщенного шума наблюдения является вырожденной. Если задача оценивания сингулярна, то приведенные выше оптимальные наблюдатели использовать нельзя, так как в их описании используется обратная матрица Если шумы являются цветными, то согласно выше описанным процедурам исходная задача может быть преобразована. Поэтому рассмотрим сингулярную задачу линейного оптимального оценивания с белым шумом.

Представим уравнения объекта и наблюдения следующим образом:

Шумы имеют следующие характеристики:

Они не коррелированы со случайным вектором имеющим следующие характеристики:

Компоненты вектора измеряются точно. Пусть размер этого вектора равен и матрица имеет ранг Тогда соотношение (10.231) дает линейных независимых уравнений для неизвестного фазового вектора. Поэтому достаточно получить еще уравнений, которые совместно с (10.231) позволят определить оценку х.

Введем переменный -вектор:

где — выбирается так, чтобы -матрица была невырожденной. Зная можно однозначно восстановить Действительно, из (10.231) и имеем

Введем -матрицу -матрицу следующим образом:

Тогда

Очевидно, если — оптимальная оценка для то

Поэтому задача свелась к определению оптимальной оценки Для Продифференцировав (10.232), получим

или, учитывая (10.234),

Последнее уравнение можно представить в виде

где

Преобразуем уравнения наблюдения: нужно получить уравнения, связывающие измеряемую величину с переменной Подставив выражения для х из (10.234) в (10.230), получим

где

Продифференцировав (10.231) и используя (10.229) и (10.234), получим

где

Используя обозначения

уравнение наблюдения можно представить в виде

Таким образом, чтобы найти оценку нужно найти фильтр Калмана—Бьюси для системы Найдем характеристики для шумов Из (10.237) и (10.240) следует, что интенсивность шума , интенсивность шума V,, и взаимная интенсивность этих шумов определяется следующим образом:

Для линейной оптимальной оценки имеем:

В данном случае не просто определить начальные значения Простейший путь — это принять т. е. игнорировать начальное измерение Тогда из (10.132) имеем

Для определения составляющей вектора наблюдения у необходимо, как это следует из (10.239), вычислять производную Путем дальнейших преобразований можно избежать вычисления этой производной [101.

Пример 10.27. Рассмотрим сингулярную задачу линейного оптимального оценивания при следующих исходных данных;

Шумы объекта и наблюдения являются белыми с интенсивностями соответственно. Шумы не коррелированы между собой и с вектором начального состояния. В данной случае в принятых выше обозначениях имеем:

Примем Тогда

Из равенства

получаем

Из (10.237)-(10.240), (10.242) имеем:

Соотношение (10.243) принимает вид

Для искомой оценки из (10.235) получаем