2.1.2. Функция распределения.

Предположим, что случайная величина g может принимать любые действительные значения. Данное предположение не уменьшает общности, так как ограниченность интервала возможных значений будет означать, что вероятность попадания значения случайной величины в область числовой оси вне указанного интервала равна нулю.

Используем простейшее правило разбиения: зафиксируем на действительной оси порог . Область возможных значений случайной величины делится на две части: к одной из них относятся значения , не превосходящие порог , а к другой — превосходящие порог. Функция

показывающая, как Зависит от выбранного порога вероятность того, что значения случайной величины не превосходят его, называется функцией распределения вероятностей случайной величины

Укажем основные свойства функций распределения. Значения этих функций, представляющие вероятности, должны находиться в пределах от 0 до 1, причем

как вероятность невозможного события, а

как вероятность достоверного события. Свойство, выраженное равенством (2.36), аналогично свойству полной группы событий.

Если

и, следовательно,

откуда, используя (2.2), находим

Таким образом, вероятность того, что случайная величина заключена в определенных пределах, равна разности значений функ-Ции распределения в верхнем и нижнем пределах.

Соотношение (2.4) подчеркивает универсальность приведенного подхода к определению распределения вероятностей, так как он позволяет перейти к любому другому определению.

Так как левая часть равенства (2.4) не может быть отрицательной, то при

Следовательно, функция распределения неубывающая.

Условия (2.3) и (2.5) необходимы и достаточны для того, чтобы функция одной переменной была функцией распределения случайной величины.