13.8.6. Односторонний знаковый алгоритм.

Рассмотрим задачу проверки гипотезы Н о том, что независимая однородная выборка принадлежит симметричному относительно нуля распределению с плотностью против альтернативы что эта выборка принадлежит тому же симметричному распределению, но с плотностью сдвинутому на (т. е. симметричному относительно По классификации, приведенной в п. 13.7.1, сформулированная задача проверки непараметрических гипотез является задачей сдвига (рис. 13.8).

Как отмечалось в п. 13.8.2, любую знаковую статистику можно использовать для построения непараметрического алгоритма принятия или отклонения гипотезы Н о симметрии распределения относительно нуля. Часто в качестве такого алгоритма (на эвристической основе) выбирают простейший односторонний линейный знаковый алгоритм, предписывающий сравнению суммы знаков с порогом:

(13.175)

где — решение отклонить, а — решение принять гипотезу Н.

Учитывая связь функций [см. (13.165)], можно линейный знаковый алгоритм (13.175) записать в виде

(13.176)

Обозначим вероятность

Для гипотезы величина а для альтернативы при .

Сумма в левой части (13.176), равная числу положительных значений в независимой однородной выборке размером , подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами если справедлива гипотеза , и с параметрами , если справедлива альтернатива К (см. п. 1.3.1, а также (13.164 а и б)). При заданной вероятности а ошибки первого рода всегда существует такое для которого

(13.177)

где — отношение неполной бета-функции к полной [см. (1.23 а)], — делая часть величины с. Уравнение (13.177) определяет постоянный порог для любых симметричных распределений при фиксированном значении вероятности ошибки первого рода. Заметим, что оно определяет и величину , причем может оказаться, что для этого целого числа правая часть (13.177) не равна в точности заданному значению вероятности а ошибки первого рода.

Вероятность ошибки второго рода

(13.178)

Из (13.177) и (13.178) следует, что при алгоритм (13.176) — несмещенный, так как при из неравенства [см. (1.236)]

получаем и, следовательно, .

При больших размерах выборки биномиальное распределение аппроксимируется нормальным (см. п. 1.3.2) со средним и дисперсией что соответствует центральной предельной теореме, из которой следует асимптотическая нормальность линейной знаковой статистики.

Тогда формулы для вероятности ошибок первого и второго рода при можно переписать в виде

(13.179 б)

где — интеграл Лапласа.

При заданной вероятности ошибки первого рода а порог с определяется из (13.179 а)

(13.180)

где — процентная точка стандартного нормального распределения. Подставляя (13.180) в (13.1796), получаем при 1

(13.181)

Из (13.181) следует, что для несмещенного правила при вероятность ошибки второго рода

Если и, следовательно, 1/2, то несмещенным будет алгоритм

(13.182)

Тогда

(13.183)

и при из (13.183) и (13.184) следует .