11.5. ЗАДАЧИ
11.1. Используя формулу (11.3), доказать, что среднее значение и корреляционная функция процесса 
на выходе системы УПЧ — квадратичный детектор — фильтр, когда на его вход действует сумма детерминированного сигнала и гауссовского белого шума со спектральной плотностью 
(2)
11.2. Пусть в системе УПЧ — квадратичный детектор — фильтр частотные характе ристики УПЧ и фильтра описываются гауссовскими кривыми
Соответствующие импульсные функции имеют вид
Параметры 
и (32 просто выражаются через полосы 
УПЧ и 
фильтра (см. п. 7.2.8):
Обозначим отношение этих параметров
Доказать, что кумулянты процесса на выходе рассматриваемой системы, когда на вход действует сумма гармонического сигнала 
и гауссовского белого шума со спектральной плотностью 
где 
11.3. Доказать, что коэффициенты асимметрии и эксцесса процесса на выходе системы высокодобротный колебательный контур — квадратичный детектор — 
-фильтр, когда на вход действует гауссовский белый шум, определяется по формулам
где 
— отношение полос пропускания колебательного контура и фильтра.
11.4. Доказать, что коэффициенты асимметрии и эксцесса процесса на выходе системы перемножитель — RС-фильтр, когда на вход перемножителя действуют гауссовский белый шум со спектральной плотностью 
и стационарный гауссовский процесс с корреляционной функцией 
определяется по формулам
где
11.5. Типовое звено состоит из высокодобротного контура типа RLC, квадратичного детектора, выделяющего квадрат огибающей, и 
-интегратора, причем отношение полос цепей до и после детектора 
Показать, что плотность вероятности процесса на выходе указанного типового звена, когда на входе действует гауссовский белый шум
где 
— мощность шума на единицу полосы частот.
11.6. В условиях предыдущей задачи при произвольном отношении полос 
и конечном времени Т последетекторного интегрирования показать, что распределение процесса на выходе типового звена определяется из общей формулы 
подстановкой собственных значений 
где 
положительные корни уравнения
где 
— функции Бесселя первого и второго рода, 
11.7. Процесс 
представляет результат прохождения гауссовского белого шума через колебательный контур, образованный последовательным соединением резистора 
катушки индуктивности L и конденсатора С (см. п. 7.2.7, величина Q по-прежнему обозначает добротность контура, а 
— резонансную частоту).
этого процесса за время усреднения Т:
Доказать, что при 
(т. е. при неограниченном увеличении времени усреднения Т) распределение случайной величины 
асимптотически нормальное с параметрами 
— узкополосный (добротность 
). Вывести следующее выражение плотности вероятности средней мощности процесса 
за конечное время усреднения
