15.4.4. Оптимальные дискретно-аналоговые алгоритмы обнаружения квазидетерминированных сигналов.
Условный (при фиксированной фазе 
) логарифм отношения прадоподобия при использовании 
независимых координат 
наблюдаемого процесса можно записать в виде [ср. (15.44)]
(15.120 а)
или в комплексной форме |[см. (15.80)]
(15.120 б)
Из (15.1206) следует, что при фиксированной фазе 
оптимальный амплитудно-фазовый дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения детерминированного узкополосного сигнала на фоне аддитивной узкополосной гауссовской помехи имеет вид
Статистика в левой части неравенств (15.120 в) представляет линейную функцию от независимых координат 
квадратурных составляющих наблюдаемой реализации узкополосного случайного процесса.
Если мешающий параметр 
— случайный и распределен равномерно на интервале 
, то усредненное по этому параметру отношение правдоподобия [см. (15.120 б)]
(15.121)
где
(15.121 б)
Используя известное интегральное представление функции Бесселя от мнимого аргумента (см., например, п.3.2.3), получаем окончательно
(15.122)
Экспоненциальный сомножитель в (15.122) зависит только от априорных данных, а функция 
монотонно возрастает при 
. Так как случайная величина 
[см. (15.121 а)], то из (15.122) следует, что усредненное отношение правдоподобия является монотонной функцией статистики 
. Поэтому оптимальный (по любому из рассмотренных в гл. 12 критериев) дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала на фоне аддитивной узкополосной гауссовской помехи предписывает сравнение с порогом статистики (15.121 а):
(15.122 а)
При использовании критерия Неймана — Пирсона порог с определяется заданной вероятностью а ложной тревоги.
Для определения порога с в (15.122 а) по заданному значению а и для вычисления вероятности правильного обнаружения необходимо знать распределение случайной величины 
при гипотезе Но и при альтернативе Ни Нетрудно найти это распределение. Действительно, случайные величины 
представляют независимые комплексные нормальные случайные величины с нулевыми средними, когда верна гипотеза 
и со средними, равными 
когда верна гипотеза Ни Для обеих указанных гипотез дисперсии этих величин.
Отсюда следует, что случайная величина 
представляет модуль комплексной гауссовской случайной величины (или случайного вектора с независимыми компонентами), дисперсия которой равна 
а среднее значение равно нулю, когда верна гипотеза 
и равна 
когда верна гипотеза Н.
Распределение модуля такого вектора было подробно рассмотрено в п. 3.2.3, из которого следует, что случайная величина 
подчиняется рэлеевскому распределению
(15.123)
если справедлива гипотеза 
и обобщенному рэлеевскому распределению
(15.124)
если верна гипотеза 
В формулах (15.123) и (15.124) [ср. с (15.47) ]
(15.125)
Из (15.123) следует
(15.126)
откуда в алгоритме (15.122)
(15.127)
Вероятность правильного обнаружения
(15.128)
Интеграл в (15.128) табулирован (см., например, [4]).
Формула (15.128) представляет зависимость вероятности правильного обнаружения от вероятности ложной тревоги — рабочую характеристику обнаружения. Параметром этой характеристики является величина 
определяемая из (15.125).
