14.7. ЗАДАЧИ

14.1. Показать, что для равномерного распределения оценка

где — наибольшая и наименьшая порядковые статистики несмещенная и имеет наименьшую дисперсию

Убедиться, что дисперсия (2) меньше нижней границы определяемой неравенством Рао — Крамера, если его формально использовать для распределения, равномерного на интервале .

14.2. Доказать, что выборочные среднее и дисперсия для нормального распределения независимы. Обобщить этот результат на многомерное нормальное распределение и доказать, что вектор выборочных средних значений не зависит от выборочной ковариационной матрицы (см. [45]).

14.3. Дисперсия центрированной гауссовской случайной величины распределена экспоненциально с плотностью

Доказать, что оценка максимальной апостериорной плотности вероятности параметра

Доказать также, что при квадратичной функции потерь байесовская опенка

где — оценка максимального правдоподобия [см. (14.105) при а — функция Бесселя второго рода от мнимого аргумента.

Обратить внимание, что при этом байесовская оценка не совпадает с оценкой по критерию максимальной апостериорной плотности и объяснить причину такого различия.

14.4. Доказать, что оценка максимального правдоподобия параметра 0 экспоненциального распределения с плотностью

равна

Доказать, что эта оценка несмещенная и эффективная.

Показать, что доверительный интервал для оцениваемого параметра О имеет следующий вид:

где — заданный коэффициент доверия и — процентная точка стандартного -распределения.

14.5. Параметр экспоненциального распределения [см. (5)] — случайная величина, распределенная также по экспоненциальному закону с известным параметром

Доказать, что оценка максимальной апостериорной плотности вероятности

Доказать также, что при квадратичной функции потерь байесовская оценка

где — оценка максимального правдоподобия [см. (6)] и — функция Бесселя второго рода от мнимого аргумента (применительно к рассматриваемой задаче см. также замечание к задаче 14.3).