10.7. ЗАДАЧИ
10.1. Пусть
— сумма квадратов двух значений огибающей узкополосного стационарного нормального случайного процесса. Используя (10,60) и заменяя переменные
, показать, что одномерная плотность вероятности
При
распределение (1) переходит в
— распределение с четырьмя степенями свободы, как и должно быть для суммы двух независимых экспоненциальных случайных величин.
10.2. Пусть
— стационарные и стационарно связанные узкополосные гауссовские процессы, которые можно представить в виде
Показать, что совместная плотность вероятности и взаимная корреляционная функция огибающих этих процессов
где
— дисперсии процессов
(предполагается, что средние значения этих процессов равны нулю),
При
формулы (5) и (6) переходят в (10.60) и (10.69).
Рис. 10.5. Схема устройств перемножитель-фильтр
10.3. На вход устройства, схема которого изображена на рис. 10.5, подаются процессы
указанные в задаче 10.2. Спектры процессов ограничены полосой А, а полоса
идеального низкочастотного фильтра НЧФ удовлетворяет неравенству
Замечая что процесс на выходе фильтра
получаем следующее выражение характеристической функции процесса
где I — единичная матрица, и матрицы Q и К имеют вид
10.4. Доказать, что среднее число и средняя длительность выбросов над уровнем
огибающей эргодического узкополосного центрированного гауссовского процесса
где
— дисперсия гауссовского процесса и со определяется согласно (10.1256).
10.5. Доказать, что среднее число и средняя длительность выбросов над уровнем
фазы эргодического узкополосного центрированного гауссовского процесса
(т. е. не зависит от уровня
)
где со определяется согласно (10.1256).
10.6. Доказать, что среднее число и средняя длительность выбросов над уровнем
мгновенной частоты производной от фазы эргодического узкополосного центрированного гауссовского процесса
где
причем величина
определяется согласно (10.125 б),
— согласно (10.52).